균형 선회 조건 상에서의 비행 조건 유도

균형 선회하는 항공기에 작용하는 힘과 속도 벡터의 분해

균형 선회는 옆미끄럼 흐름이 없는 상태로 비행하는 것을 말한다.

수식적으로 표현하면 $v=0$이며, 옆미끄럼각이 없기 때문에 옆미끄럼각에 의한 공력은 없다.

일정한 속력 $V$로 균형 선회를 하는 항공기의 자유물체도로부터 힘의 평형을 유도 할 수 있다.

$$\cases{L cos \phi = mg \\ L sin \phi = m \Omega V}$$

 $\Omega$ : 선회 각속도,  $V$ : 선회 속력, $m$ : 질량, $g$ : 중력 가속도, $\phi$ : 롤 각, $L$ : 양력

이로부터 롤 각 $\phi$를 구할 수 있다.

$$\phi = atan \left(\frac{\Omega V}{g} \right) = acos\left(\frac{1}{n}\right)$$

$n$ : 하중 배수 혹은 G이다. 

선회 반경 $R$은 선회 속력 $V$과 선회 각속도 $\Omega$에 의해 결정된다.

$$R = V/\Omega$$

항공기의 속도는 기준 관성 좌표계로 NED 좌표계를 선택하여 표현할 수 있다. 등고도에서 균형 선회를 하는 항공기는 NED 좌표계 상에서 $V^D =0$이다. 요 각 $\psi = 0$이라고 가정하면

$$\begin{bmatrix}V^N \\ V^E \\ V^D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}V^N \\ V^E \\ 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} C_\theta & S_\phi S_\theta & C_\phi S_\theta \\ 0 & C_\phi & -S_\phi \\ -S_\theta & S_\phi C_\theta & C_\phi C_\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ 0 \\ w \end{bmatrix}$$

$$V^D = -u S_\theta + w C_\phi C_\theta = 0$$

$$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -S_\theta \\ 0 & C_\phi & C_\theta S_\phi \\ 0 & -S_\phi & C_\theta C_\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \Omega \end{bmatrix}$$

 

정리하면 다음과 같다.

실속 조건 $C_{Lmax}$으로부터

$$C_L(\alpha)  \rightarrow \alpha_{C_{Lmax}}, C_{Lmax} ,  n = L/W$$ $$\Omega = \frac{g}{V} \sqrt{n^2 -1}$$

최대 하중 조건 $n_{max}$으로부터

$$\Omega = \frac{g}{V} \sqrt{n^2 -1}$$ $$C_L(\alpha) = \frac{2mg}{\rho V^2 S} \rightarrow C_{L} , \alpha_{C_{L}}$$

다음의 항공기의 상태를 계산할 수 있다.

$$\begin{bmatrix}\phi = atan2 \left( \Omega V , g \right) \\ \theta = atan2 \left(C_\phi S_\alpha , C_\alpha \right) \\ \psi = 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}u \\ v \\ w \end{bmatrix} = V \begin{bmatrix} C_\alpha \\ 0 \\ S_\alpha \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}V^N \\ V^E \\ V^D \end{bmatrix} = V \begin{bmatrix} C_\theta C_\alpha + C_\phi S_\theta S_\alpha \\ - S_\phi S_\alpha \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \Omega\begin{bmatrix}-S_\theta \\C_\theta S_\phi \\ C_\theta C_\phi \end{bmatrix}$$  

 

롤 각으로 각속도를 표현하면 다음과 같다.

$$\phi = \text{acos} \left( 1/n \right) \rightarrow n = 1/\text{cos}\phi$$

$$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \frac{g}{V}\text{tan}\phi \begin{bmatrix}-S_\theta \\C_\theta S_\phi \\ C_\theta C_\phi \end{bmatrix}$$

 

만약 질점 모델과 같은 간단한 모델이라면, $\theta$를 무시할 수 있다.

$$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \frac{g}{V}\text{tan}\phi \begin{bmatrix}0 \\ S_\phi \\  C_\phi \end{bmatrix}$$