제어 공학 요약 - 선형 시스템

Intro.

 

선형 시스템에 대해서..

선형화하는 이유?

복잡한 비선형 시스템을 선형 시스템으로 근사화하여 해석할 수 있다.

평형점 근방에서의 모델의 거동을 분석할 수 있기 때문이다. 좁은 상태 범위 내에서 선형으로 간주하여 해석한다.

또한 이를 바탕으로 고전제어설계기법인 근궤적선도와 보드 선도를 통해서 제어기를 설계할 수 있다.

 

선형화는 어떻게 하는가?

Perturbation Theory 에 따라서 어떤 평형 상태에 대한 테일러 급수 전개를 통해 구한다.

 

선형 시불변 시스템 (Linear Time-Invariant System, LTI System)

시스템이 선형적 특성을 가지고, 시불변성을 가진 시스템이다.

 

선형성(Linearity)이란? 

중첩의 원리(Superposition)가 성립하는 특성, 산술 연산이 가능하다는 것이다.

선형 시스템은 Homogeneity(동차, scaling)와 Addictivity(합 법칙)을 가진다.

$$y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2) \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} y_1 + y_2 = f(x_1 + x_2) $$

 

시불변성(Time-Invariant)이란?

모델의 입출력 특성이 시간에 따라 변하지 않는다.

 

연속 시간 (Continuous-Time)과 이산 시간 (Discrete-Time) 시스템

신호가 정의된 시간 도메인의 특성

다루는 신호가 연속 시간에서 정의된 신호인가 불연속적인 시간에 정의된 신호인가 이다.

 

아날로그 (Analog) 혹은 디지털 시스템 (Digital System)

신호의 특성

신호의 크기가 연속적이면 analog signal, 신호의 크기가 유한한 값을 가지면(이산적이면) digital signal이다.

 

안정한 혹은 불안정한 시스템

안정성은 내/외부적으로 정의될 수 있다. 

외부 관찰자 입장에서, 시스템에 유계의 입력으로 인해 유계의 출력이 나타난다면 externally stable이다. 이러한 안정성을 BIBO(Bounded-Input Bounded-Output)이라 한다.

외부 입력이 없는 상황에서, 시스템이 특정 상태에 머무른다면 이 상태를 평형점(Equailibrium State)라 한다.

시스템의 모든 상태가 무한한 시간 내에 평형점에 도달하면 이를 안정하다고 한다.

그러나 특정 상태가 평형점에 도달하지 않거나 무한정하게 커지지 않으면 임계 안정(Marginally Stability)이라 한다.

내부 안정(Internal Stabiilty)는 점근 안정(Asymptotic Stability) 혹은 Lyapunov 관점에서의 안정이라고도 한다.

 

외부 안정(Externally Stability) : 시스템에 유계의 입력을 가할 때, 유계의 출력이 나오는 특성(BIBO)

내부 안정(Internal Stability) : BIBO 특성과, 무한한 시간 내에 어떤 평형점에 도달한다

 

 

선형 해석

라플라스 변환(Laplace Transform)이란?

선형 시스템의 신호는 중첩이 가능하다. 이로부터 신호를 시간 영역에서는 임펄스 요소로 쪼갤 수 있다.

또한 신호를 주파수 영역으로 가져오면 신호 $x(t)$를 지수 꼴 $e^{st}$으로 쪼갤 수 있으며, s는 신호의 복소 주파수이다. 이러한 지수 요소로 표현하는 것을 라플라스 변환이라고 한다.

 

$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

 

이는 딥러닝 분야의 CNN에서도 합성곱 연산이라는 동일한 방법을 사용한다.

 

시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하여 해석하는 이유?

 

전달함수란?

주파수 영역에서 선형 시스템 모델을 입력에 대한 출력의 관계로 나타낸 것

 

 

영점과 극점이란?

영점과 극점은 선형 시스템의 응답 특성을 나타내는 정보이며

영점은 전달함수를 0으로 만드는 해, 극점은 전달함수를 무한대로 만드는 해이다.

또한 특성방정식의 해를 극점이라 한다.

 

근궤적 선도의 의미?

시스템 전달함수의 영점과 극점을 복소 평면에 표현하여 시스템의 안정도와 성능을 예측할 수 있는 도구

개루프 전달함수의 이득을 0부터 무한대까지 변화시키면서 이득의 변화에 따른 영극점의 변화를 통해 폐루프 시스템을 해석 또는 설계할 수 이다.

극점이 모두 좌반면(RHP)에 있으면 시스템은 안정, 허수축에 극점이 있으면 진동, 우반면에 극점이 있으면 발산

저는 주로 댐핑 루프를 설계할 때 근궤적 선도를 이용했다. 단일 변수에 대한 시스템 설계가 가능하기 때문.

 

주파수 해석 방법

 

보드 선도의 의미

주파수에 따른 응답 크기와 위상을 로그 스케일로 직교 좌표계 상에서 나타낸 선도이다.

전체 영극점으로부터 시스템 전체의 응답 크기나 위상을 표현하기 때문에, 시스템이 복잡할 때 해석하기 용이하다.

곱셈

 

선형 시스템의 안정성 판별 방법

1. 대수 방정식의 근과 계수

특성방정식의 근을 계산하여, 근의 실수부가 음수부인지 확인한다. 그러나 이는 필요조건이지 안정을 위한 충분조건은 아니다.

2. 루스(Routh)의 안정판별법

루스 배열의 계수가 모두 양수라는 것이 라우스의 안정판별법

3. 후르비쯔(Hurwitz)의 안정판별법

4. 리아프노브(Lyapunov)의 안정판별법

 

모델링 하는 방법

1. 운동 방정식에 기초하여 수학적 모델을 세운다.

2. 입출력 데이터에 기반하여 시스템 식별을 한다.

3. Chirp signal 을 만들어서 주파수 입력에 따른 응답을 구한다.

 

 

비행체 한정 특성 해석

고정익 비행체 종죽 극점의 의미

장주기 운동 : 속도 ~ 고도 간 에너지 교환

단주기 운동 : 피치 축 댐핑 특성, 

 

현대제어이론으로..

고전제어기법의 한계는?

고전제어이론은 주로 SISO 시스템에 관심을 두고 해석하기 때문에 MIMO 시스템을 다루기 어렵다.

또한 고전제어이론은 평형점을 근방으로 하여 선형화 후 해석한다.

반대로 현대제어이론은 제어 대상의 모델을 상태 공간 표현으로 나타냄으로써 다 입출력시스템(MIMO)도 단일 입출력 시스템(SISO)와 유사한 이론의 전개가 가능하다.

 

고전제어기법은 선형 시불변(LTI), 단일 입출력(SISO) 시스템을 대상으로 다루며 복소주파수 영역의 해석기법이며,

현대제어기법은 선형/비선형, 시불변/시번, 다중 입출력 시스템을 대상으로 다루며 시간 영역의 해석기법이다. 이를 위해 현대제어기법은 시스템을 상태공간 표현으로 나타내어 다룬다.

 

모델 불확실성이란?

모델링이란 실제 시스템의 거동을 예측하기 위한 수단이며, 이때 반영하지 않거나 못한 것들을 모델의 불확실성이라 한다.

또한 동작점 이상의 운동은 모델의 비선형성으로 인해 나타나는 응답 차이 또한 모델 불확실성이다.

 

선형화한 시스템이 안정하면 비선형 시스템도 안정한가?

선형 시스템의 안정성은 시스템 전달함수의 극점이 근궤적 선도 상에 모두 좌반면에 있는지를 보고 판단한다.

 

선형 이차 레귤레이터(LQR, Linear Quadratic Regulator)

시스템에 대해서 대수 리카티 방정식의 해를 통해서 제어 이득 행렬을 얻는다.

 

비선형 시스템

비선형 시스템 해석 방법

Phase Portrait

시스템의 상태 거동 특성을 직관적으로 도시할 수 있다.

Limit Cycle

 

비선형 시스템 안정성 해석 방법

리아푸노브 안정성 해석

미분 항이 음수인 리아푸노브 후보 함수를 

 

항공기 안정성과 조종성 분석

비행체의 모델을 모델링 하는 방법

어떤 상태에 대한 선형화에 기초한 항공역학적 힘과 모멘트 계수를 계산한다.

이는 주로 CFD으로 계산되나, 나는 와류격자법에 기초하여 이를 계산한다

주로 AVL이라는 프로그램을 이용하여 무차원 미계수를 구했고, 이는 와류격자법을 사용하여 계수를 구한다.

또한 Digital DATCOM 을 이용해서 모델링 한 바 있다.

 

와류격자법이란?

전산유체해석에 사용되는 수치해법이다.

와류격자법은 양력면 이론으로부터, 날개를 격자로 분리하고 미지의 집중 와류를 캠버 면에 직접 분포하여 해석하는 방법이다.

 

제어기 설계 방법

1. 선형화에 근거하여 종축과 횡축을 나누어 설계한다.

2. 제어기를 쌓는 형태로 설계한다.

3. 고전제어기법으로 설계하는 방법은 Bandwidth 가 빠른 루프에 대해서 먼저 설계하고 느린 루프는 나중에 설계한다.

 

유도제어기법

제어

PID 제어기를 쌓는 형식으로 구현

자세 각속도, 자세, 속력, 고도, 가속도 등을 제어

유도

비선형 경로 추종을 이용한 경로점, 선회 유도

비례항법제어 or 추적유도기법

벡터필드 기반 직선, 원형 경로 추종

혹은 가속도 명령을 비행체의 특성으로부터 다른 명령값으로 변환한다.

기타

구동기 한계를 고려한 가중 의사역행렬 기반 조종면 할당 (구속 조건 하의 2차 최적화 문제)

 

저역/고역 필터와 PID 제어기를 비교했을 때, 왜 필터는 이산 공간으로의 변환을 해주었는가?

나의 제어법칙에 대한 관점

실제 제어기법들을 이용해서 간단하게 설계하고 반드시 성능이 보장되는가?

왜냐하면 실 비행실험에서 반드시 안정적으로 그 성능이 나와야 한다고 생각하기 때문.