[G] 비선형 경로 추종 유도 법칙 기반 선회 유도 기법 구현해보기

 참고한 논문[1-2]은 고정익 항공기에 대해서 비선형 경로를 추종하는 경로 추종 유도 기법을 제안하고 있다. 또한 영상을 결합하여 표적 주위로 선회하도록 하는 유도기법으로 발전시켰다.

 본 글에서 다루는 운동 모델은 다음의 2D 질점 모델을 기반으로 한다. 모델은 방향 $\psi$으로 속도 $V$를 가지고 비행한다고 하자.

$$\cases{V_x = \dot{P}_x = V \text{cos}(\psi) \\ V_y = \dot{P}_y = V \text{sin}(\psi) \\ \dot{\psi}=a/V} $$

 

 

선회 유도 법칙은 다음과 같다.

$$a_{cmd} = \frac{V^2}{R_{ref}} + K_{\eta} \text{sin}(\eta)$$

 목표점 $P_T$ 주변으로 선회 반경 $R_{ref}$을 유지하며 선회할 때 필요한 정상 상태의 가속 항과, relative bearing angle $\eta$을 regulate하기 위한 추가 항으로 구성된다. 이때 $K_{\eta} > 0$는 설계 변수이다. 그러나 위 식을 기반으로 하면 선회 방향이 항상 고정된다는 문제가 있다. 그렇다면 우측면에 표적이 있어도 반시계 방향으로 선회해야만 한다면 선회원에 접근하는데 불필요한 기동을 하게된다. 따라서 기체 기준으로 표적에 가장 빨리 선회원에 접근하기 위해서, 다음과 같이 식을 수정한다.

$$a_{cmd} = \frac{V^2}{R_{ref}} + K_{\eta} c_{cwccw} \text{sin}(\eta)$$

$$\vec{L} = P_T - P$$

$$e_V = V/||V|| , e_L = \vec{L} / ||\vec{L}||$$

$$c_{cwccw} = \text{sgn}(\text{asin}([0,0,1]^T\cdot \left( e_V \times e_L \right)))$$

 위 식의 $c_{cwccw}$는 선회 방향을 결정하는 계수로 -1 또는 1이다. 해당 식은 진행 방향과 표적 방향의 외적을 바탕으로 기체 진행 방향에 따라 어느 방향으로 선회해야할 지 식별할 수 있도록 선회 방향을 나타내는 부호를 결정된다.

 이를 바탕으로 속력 $V=10m/s$인 기체가 선회 반경 $R_{ref}=200m$을 가지고 어떤 점 주변을 선회한다고 할 때, 다음과 같이 선회하는 것을 확인할 수 있다. 설계 변수 $K_{\eta}=1$이다.

좌선회와 우선회

 출발 속도 방향을 조절하여 좌선회와 우선회 조건으로 유도 법칙을 구현해보았다. 1사분면에 시간에 따른 가속도, 2사분면에 2차원 경로와 선회 중심을, 3사분면에 표적과의 거리를, 4사분면에 relative bearing angle을 표기하였다. 유도 법칙이 Lyapunov 안정도 조건을 만족하여 점근 안정성을 가지므로 시간에 따른 표적과의 거리가 선회 반경에 수렴하는 것을 볼 수 있다.

 

Reference

1. Park, S., Deyst, J., and How, P., "Performance and Lyapunov Stability of a Nonlinear Path Following Guidance Method," Journal of Guidance, Control, and Dynamics Vol.30, No.6, Nov. 2007, pp.1718-1728,  https://doi.org/10.2514/1.28957

2. Park, S., "Vision-based Guidance for Loitering over a Target," Int'l J. of Aeronautical & Space Sci. Vol.17, No.3, 2016, https://doi.org/10.5139/IJASS.2016.17.3.366