PNG의 항법 상수에 따른 유도 특성

요약

비례항법유도는 항법상수 $N$에 따라서 유도 특성이 변하게 된다.

본 글은 책[1]을 참조하여 항법 상수의 변화에 따른 유도 특성의 변화를 정리하고자 한다.

참고로 책은 수식이 틀린 부분이 좀 있다.

 

 

요격 미사일과 표적에 대한 관계식은 다음과 같다.[1]

$$\cases{R\left( \frac{d\lambda}{dt} \right) = V_T sin (\lambda_t -\lambda) - V_M sin(\gamma_M -\lambda) \hspace{10mm}\cdots (1.a)\\\frac{dR}{dt} = V_T cos(\gamma_T - \lambda) - V_M cos(\gamma_M -\lambda)\hspace{20mm}\cdots (1.b)}$$

식 (1.a)를 시간에 대해 미분하면

$\dot{R} \dot{\lambda} + R \ddot{\lambda} = (\dot{\gamma}_T -\dot{\lambda}) V_T cos (\gamma_T - \lambda ) -(\dot{\gamma}_M -\dot{\lambda} ) V_M cos(\gamma_M -\lambda)$

$\dot{R} \dot{\lambda} + R \ddot{\lambda} = \dot{\gamma}_T  V_T cos (\gamma_T - \lambda ) - \dot{\gamma}_M V_M cos(\gamma_M -\lambda) -\dot{\lambda} \left(V_T cos (\gamma_T - \lambda ) - V_M cos(\gamma_M -\lambda)\right)$

식 (1.b)로 우변의 일부를 치환한다.

$\dot{R} \dot{\lambda} + R \ddot{\lambda} = \dot{\gamma}_T  V_T cos (\gamma_T - \lambda ) - \dot{\gamma}_M V_M cos(\gamma_M -\lambda) -\dot{\lambda} \frac{dR}{dt}$

$2\dot{R} \dot{\lambda} + R \ddot{\lambda} = \dot{\gamma}_T  V_T cos (\gamma_T - \lambda ) - \dot{\gamma}_M V_M cos(\gamma_M -\lambda)\hspace{20mm} \cdots (2)$

식 (1)으로부터 평면상의 비례항법유도를 유도하는 시스템 방정식을 유도했다.

$\ddot{\lambda} + \frac{\dot{\lambda}}{R} \left[2\dot{R} + NV_M cos(\gamma_M -\lambda) \right] = \frac{1}{R} \dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda)\hspace{20mm}\cdots (3)$

1) 비 기동 표적에 대해

$\rightarrow(\dot{\gamma}_T = 0)$

$$\ddot{\lambda}+\dot{\lambda} \left[2\dot{R} + NV_M cos(\gamma_M -\lambda) \right]/R = 0$$

시선각 변화율이 0에 수렴하려면 $(\dot{\lambda}\rightarrow 0 )$  다음과 같은 조건을 만족해야한다.

$$2\dot{R} + NV_M cos(\gamma_M -\lambda) > 0$$

$$N> \frac{2\dot{R}}{V_M cos(\gamma_M -\lambda)} \hspace{10mm} for \hspace{3mm} cos(\gamma_M -\lambda ) > 0 $$

$$N>2\left( 1 - \frac{cos(\gamma_T -\lambda)}{\kappa cos(\gamma_M -\lambda) }\right) \hspace{10mm} \kappa = |V_M|/|V_T|\hspace{20mm}\cdots (4)$$

식 (4)는 다음과 같이 바꿀 수 있다고 한다. 잠시 인용하면 다음과 같다[2]

추적자 속도가 일정하고 표적이 기동하지 않는다면, 우변항은 사라지고 시선각 각속도의 거동은 동차 미분방정식 (Homogeneous differential equation)을 따른다. $\dot{\lambda}$는 이득 상수 $N$을 $N=-N'\dot{R}/[V_M cos(\gamma_M -\lambda)]\simeq N', N'>2$라고 하면, 미분방정식을 해석적으로 풀 수 있다.

치환 식을 정리하면

$$N' V_C = NV_M cos(\gamma_M -\lambda)\hspace{10mm}\cdots(5)$$

$$a_n = \frac{d \gamma_M }{dt} V_M =N\dot{\lambda}V_M$$

$$a_n = N\dot{\lambda}V_M = \frac{N'V_C} {cos(\gamma_M -\lambda)}\dot{\lambda}$$

식 (3)으로부터, 

$$R\ddot{\lambda} + \dot{\lambda} \left[2\dot{R} + NV_M cos(\gamma_M -\lambda) \right] = \dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda) \hspace{15mm}\cdots(6)$$

$$R \frac{dR}{dt} \frac{d\dot{\lambda}}{dR}+\dot{\lambda} \left[2\dot{R} - N' \dot{R}\right] = \frac{dR}{dt} \frac{d\gamma_T}{dR} V_T cos (\gamma_T -\lambda)$$

$$R \frac{d\dot{\lambda}}{dR} + \dot{\lambda} [2-N'] = \frac{d\gamma_T}{dR} V_T cos(\gamma_T-\lambda)\hspace{15mm}\cdots(7)$$

비기동 표적에 대해.. $(\dot{\gamma}_T = 0)$

$$R \frac{d\dot{\lambda}}{dR} + \dot{\lambda} [2-N'] = 0$$

$$\frac{1}{\dot{\lambda}}d\dot{\lambda}+\frac{1}{R}dR [2-N']=0$$

$$ln(\dot{\lambda}/\dot{\lambda}_0) = [N' -2 ] ln(R/R_0)$$

$$\therefore) \frac{\dot{\lambda}}{\dot{\lambda}_0} = \left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2}$$

비기동 표적에 대해서, 거리 비율에 대한 시선각 변화율의 경향성은 그림 [1]과 같다.

$N'=2$라면 가까워져도 시선각 변화율이 일정하게 유지되고, $N'>2$일 때 비로소 거리 감소에 따라 시선각 변화율이 줄어들게 된다. $N'=3$이면 선형적인 관계를 가진다.

그림 1. 비기동 표적에 대해, 거리 비율에 대한 시선각 변화율

2) 기동 표적에 대해

기동 표적을 고려해보자. 조건을 간소화하여 시선각 각속도를 추정하기 위해, 표적의 기동이 일정하다고 하면 식(6)의 우변 항은 일정하다. 또한 비행 중의 $dR/dt$의 변화는 매우 적으므로,

$$R \frac{d\dot{\lambda}}{dR}= \frac{1}{\dot{R}} \dot{\gamma_T} V_T cos(\gamma_T -\lambda) - \dot{\lambda} [2-N'] \hspace{20mm} \cdots (8)$$

역수를 취하고 적분하자.

$$[N'-2]\frac{dR}{R} = \frac{1}{\dot{\lambda}-\frac{\dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda)}{\dot{R}[2-N']}}d\dot{\lambda} = \frac{1}{\dot{\lambda}-C}d\dot{\lambda}$$

$$[N'-2] ln (R/R_0) = ln[(\dot{\lambda}-C)/(\dot{\lambda}_0 -C)]$$

$$\dot{\lambda}=C+(\dot{\lambda}_0 -C) \left(R/R_0\right)^{N'-2}$$

원래 $R \rightarrow 0$이면 $\dot{\lambda}\rightarrow 0$이 되는데, 책[1]에 나온 식을 유도 하기 위한 조건은 초기의 시선각 각속도 $\dot{\lambda}_0 \equiv 0$일 때 이다.

$$\dot{\lambda} = \left(\frac{\dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda)} {\dot{R}[2-N']} \right) \left[1-\left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2} \right]\hspace{10mm}\cdots(9)$$

시선각 각속도와 미사일의 비행 경로각 변화율이 비슷하다면 $(\dot{\lambda}\approx\dot{\gamma}_M)$, 요격 미사일의 횡 가속도 $a_{nm}$에 대한 표적의 횡 가속도$a_{nt}$의 비율은 다음과 같다.

$$|a_{nm}/a_{nt}| = |V_M \dot{\gamma}_M / V_T \dot{\gamma}_T| = \left(\frac{V_M}{V_T} \right) N \left(\frac{\dot{\lambda}}{\dot{\gamma}_T}\right)$$

식 (5)와 (9)를 대입하면 다음과 같이 근사된다.

$$|a_{nm}/a_{nt}| \approx \frac{N'}{N'-2} \left[1-\left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2} \right]$$

그림 [2]는 기동 표적에 대한 매개변수로써 항법 상수 $N'$에 변화를 줄 때, 표적에 대한 상대 거리의 관점에서 기동 표적에 대한 가속도 비율의 변화를 보여준다.

그림 2. 항법 상수 변화에 대한 상대 거리와 가속도 비율의 관계

 $N'\leq2$이면 거리가 가까워질 수록 점점 더 큰 가속도를 요구하며, $N'>3$이면 충돌 경로의 오차가 먼저 줄어들어서 미사일의 기동이 종말 유도 비행 중에 적절한 수준으로 유지된다.

 

Reference

1. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer, 2004, pp.197-203.

2. Lin, C. F., Modern Navigation, Guidance, and Control Processing, Prentice Hall, 1991, pp.360-365.