요약
비례항법유도는 항법상수 N에 따라서 유도 특성이 변하게 된다.
본 글은 책[1]을 참조하여 항법 상수의 변화에 따른 유도 특성의 변화를 정리하고자 한다.
참고로 책은 수식이 틀린 부분이 좀 있다.
요격 미사일과 표적에 대한 관계식은 다음과 같다.[1]
{R(dλdt)=VTsin(λt−λ)−VMsin(γM−λ)⋯(1.a)dRdt=VTcos(γT−λ)−VMcos(γM−λ)⋯(1.b)
식 (1.a)를 시간에 대해 미분하면
˙R˙λ+R¨λ=(˙γT−˙λ)VTcos(γT−λ)−(˙γM−˙λ)VMcos(γM−λ)
˙R˙λ+R¨λ=˙γTVTcos(γT−λ)−˙γMVMcos(γM−λ)−˙λ(VTcos(γT−λ)−VMcos(γM−λ))
식 (1.b)로 우변의 일부를 치환한다.
˙R˙λ+R¨λ=˙γTVTcos(γT−λ)−˙γMVMcos(γM−λ)−˙λdRdt
2˙R˙λ+R¨λ=˙γTVTcos(γT−λ)−˙γMVMcos(γM−λ)⋯(2)
식 (1)으로부터 평면상의 비례항법유도를 유도하는 시스템 방정식을 유도했다.
¨λ+˙λR[2˙R+NVMcos(γM−λ)]=1R˙γTVTcos(γT−λ)⋯(3)
1) 비 기동 표적에 대해
→(˙γT=0)
¨λ+˙λ[2˙R+NVMcos(γM−λ)]/R=0
시선각 변화율이 0에 수렴하려면 (˙λ→0) 다음과 같은 조건을 만족해야한다.
2˙R+NVMcos(γM−λ)>0
N>2˙RVMcos(γM−λ)forcos(γM−λ)>0
N>2(1−cos(γT−λ)κcos(γM−λ))κ=|VM|/|VT|⋯(4)
식 (4)는 다음과 같이 바꿀 수 있다고 한다. 잠시 인용하면 다음과 같다[2]
추적자 속도가 일정하고 표적이 기동하지 않는다면, 우변항은 사라지고 시선각 각속도의 거동은 동차 미분방정식 (Homogeneous differential equation)을 따른다. ˙λ는 이득 상수 N을 N=−N′˙R/[VMcos(γM−λ)]≃N′,N′>2라고 하면, 미분방정식을 해석적으로 풀 수 있다.
치환 식을 정리하면
N′VC=NVMcos(γM−λ)⋯(5)
an=dγMdtVM=N˙λVM
an=N˙λVM=N′VCcos(γM−λ)˙λ
식 (3)으로부터,
R¨λ+˙λ[2˙R+NVMcos(γM−λ)]=˙γTVTcos(γT−λ)⋯(6)
RdRdtd˙λdR+˙λ[2˙R−N′˙R]=dRdtdγTdRVTcos(γT−λ)
Rd˙λdR+˙λ[2−N′]=dγTdRVTcos(γT−λ)⋯(7)
비기동 표적에 대해.. (˙γT=0)
Rd˙λdR+˙λ[2−N′]=0
1˙λd˙λ+1RdR[2−N′]=0
ln(˙λ/˙λ0)=[N′−2]ln(R/R0)
\therefore) \frac{\dot{\lambda}}{\dot{\lambda}_0} = \left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2}
비기동 표적에 대해서, 거리 비율에 대한 시선각 변화율의 경향성은 그림 [1]과 같다.
N'=2라면 가까워져도 시선각 변화율이 일정하게 유지되고, N'>2일 때 비로소 거리 감소에 따라 시선각 변화율이 줄어들게 된다. N'=3이면 선형적인 관계를 가진다.

2) 기동 표적에 대해
기동 표적을 고려해보자. 조건을 간소화하여 시선각 각속도를 추정하기 위해, 표적의 기동이 일정하다고 하면 식(6)의 우변 항은 일정하다. 또한 비행 중의 dR/dt의 변화는 매우 적으므로,
R \frac{d\dot{\lambda}}{dR}= \frac{1}{\dot{R}} \dot{\gamma_T} V_T cos(\gamma_T -\lambda) - \dot{\lambda} [2-N'] \hspace{20mm} \cdots (8)
역수를 취하고 적분하자.
[N'-2]\frac{dR}{R} = \frac{1}{\dot{\lambda}-\frac{\dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda)}{\dot{R}[2-N']}}d\dot{\lambda} = \frac{1}{\dot{\lambda}-C}d\dot{\lambda}
[N'-2] ln (R/R_0) = ln[(\dot{\lambda}-C)/(\dot{\lambda}_0 -C)]
\dot{\lambda}=C+(\dot{\lambda}_0 -C) \left(R/R_0\right)^{N'-2}
원래 R \rightarrow 0이면 \dot{\lambda}\rightarrow 0이 되는데, 책[1]에 나온 식을 유도 하기 위한 조건은 초기의 시선각 각속도 \dot{\lambda}_0 \equiv 0일 때 이다.
\dot{\lambda} = \left(\frac{\dot{\gamma}_T V_T cos(\gamma_T -\lambda)} {\dot{R}[2-N']} \right) \left[1-\left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2} \right]\hspace{10mm}\cdots(9)
시선각 각속도와 미사일의 비행 경로각 변화율이 비슷하다면 (\dot{\lambda}\approx\dot{\gamma}_M), 요격 미사일의 횡 가속도 a_{nm}에 대한 표적의 횡 가속도a_{nt}의 비율은 다음과 같다.
|a_{nm}/a_{nt}| = |V_M \dot{\gamma}_M / V_T \dot{\gamma}_T| = \left(\frac{V_M}{V_T} \right) N \left(\frac{\dot{\lambda}}{\dot{\gamma}_T}\right)
식 (5)와 (9)를 대입하면 다음과 같이 근사된다.
|a_{nm}/a_{nt}| \approx \frac{N'}{N'-2} \left[1-\left(\frac{R}{R_0} \right) ^{N'-2} \right]
그림 [2]는 기동 표적에 대한 매개변수로써 항법 상수 N'에 변화를 줄 때, 표적에 대한 상대 거리의 관점에서 기동 표적에 대한 가속도 비율의 변화를 보여준다.

N'\leq2이면 거리가 가까워질 수록 점점 더 큰 가속도를 요구하며, N'>3이면 충돌 경로의 오차가 먼저 줄어들어서 미사일의 기동이 종말 유도 비행 중에 적절한 수준으로 유지된다.
Reference
1. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer, 2004, pp.197-203.
2. Lin, C. F., Modern Navigation, Guidance, and Control Processing, Prentice Hall, 1991, pp.360-365.
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