유도탄의 유도 법칙 - 추적 유도와 비례 유도 항법

요약

유도탄을 유도하기 위한 유도 법칙으로 다양한 방법을 사용하고 있다.

본 글은 추적유도와 비례항법유도에 간단히 소개한다.

 

추적 유도 (PG, Pursuit Guidance) 와 비례 유도 항법 (PNG, Proportional Navigation Guidance)는 가속도 명령을 생성한다. 위 두 유도 법칙은 비행 경로각 변화율 명령 $\dot{\gamma_c}$을 무엇에 비례하게 하는가에 따라 나뉜다.

$$a_{c} = \left[\dot{\gamma}_c \times \textbf{V}_M \right]$$

 

추적 유도 기법

 추적 유도(PG, Pursuit Guidance)는 어떤 각도를 맞추는가에 따라 속도 추적 유도(VPG, Velocity Pursuit Guidance)와 자세 추적 유도(APG, Attitude Pursuit Guidance)로 나뉜다. VPG는 미사일의 속도 벡터의 방향을 표적 방향과, APG는 미사일의 기수 방향을 표적 방향과 일치시킨다. 일반적으로 VPG가 APG보다 정확한 유도를 수행한다.[1]

 예시로 VPG를 설명하면 비행 경로각 변화율 명령 $\dot{\gamma_c}$이 원하는 비행 경로각 $\gamma_c$과 유도탄의 비행 경로각 $\gamma$의 차이에 비례하도록 유도 명령을 생성한다. $K_{PG}$는 설계 상수이다. [2]

$$\frac{d\gamma_c}{dt} = K_{PG} \left(\gamma_c - \gamma \right)$$

$$a_{c} = K_{PG} \left[\left(\gamma_c - \gamma \right) \times V_M \right]$$

추적 유도의 특징

 추적 유도 법칙을 사용하면 각도의 차이를 줄이기 때문에 미사일이 속도 벡터의 방향, 혹은 기수 방향이 표적을 향하며, 표적의 꼬리를 쫒는 형국으로 끝나게 된다. 

이로 인해 표적을 추월, 요격하기 위해서 유도탄은 표적보다 매우 빨라야한다.

 또한 호밍 유도 법칙으로 추적 유도은 기동표적에 대해서 불리하다. 이는 꼬리를 쫒는 최종 단계에서 표적의 회피 기동으로 인해 미사일의 기동 성능 이상의 기동을 해야하기 때문에 요격에 실패할 수 있으며, 급기동으로 인해 에너지, 그리고 선회 성능을 크게 잃는다.

따라서 추적 유도 법칙이 적합한 대상은 느리게 움직이거나 멀어지는 표적이다. [2]

추적 유도의 종류

추적 유도의 종류는 순수 추적 유도(Pure PG), 편향 추적 유도(Deviated PG), 선도 추적 유도(Lead PG) 등이 있다.

예시로 원하는 자세 각 $\psi_d$과 표적 방향과 기수 방향의 끼인 각인 시선각 $\psi_{LOS}$을 가지는 APG의 유도 명령은 다음과 같다.

$$a_c = K_{PG}\left[\left(\psi_d - \psi\right)\right]$$

순수 추적 유도 $\psi_d = \psi_{LOS}$

편향 추적 유도 $\psi_d = \psi_{LOS}+\psi_{derivated}$

선도 추적 유도 $\psi_d = \psi_{LOS}+\sigma_{lead}, \sigma_{lead} \begin{cases} 0 & |x_d| < x_{lead} \\ \text{sgn}(x_d) \sigma & |x_d| > x_{lead} \end{cases}$

편향 추적 유도는 탐색기의 시선 편향각을 고려한다. 선도 추적 유도는 거리 오차 $x_d$가 선도 거리 $x_{lead}$보다 크면 선도각 $\sigma_{lead}$을 주고, 작다면(가깝다면) 순수 추적을 하게 된다.

VPG에 대한 벡터 수식 정리

 위치 $\vec{R}_M$, 속도 벡터 $\vec{V}_M$인 미사일이 위치 $\vec{R}_T$,속도 $\vec{T}$인 표적을 추적 유도 기법으로 따라가고 있다.

$\vec{R}_{TM} = \vec{R}_T - \vec{R}_M$

편차각(deviation angle) 벡터 $\vec{\mu}$ 의 방향 $\vec{e}_{\mu}$은 다음과 같다.

$$\vec{e}_{\mu} = \frac{\vec{e}_{VM} \times \vec{e}_{RTM}}{| \vec{e}_{VM} \times \vec{e}_{RTM}| }$$

편차각 벡터 $\vec{\mu}$의 크기 $|\vec{\mu}|$는 다음과 같다.

$$|\vec{\mu}| = \text{atan}\left(\frac{\vec{e}_{VM} \times\vec{e}_{RTM}}{\vec{e}_{VM} \cdot \vec{e}_{RTM}}\right)$$

3차원 공간 상의 추적 유도 명령은 다음과 같다.

$$\vec{a}_c = K_{PG} \left[\vec{\mu} \times \vec{V}_M \right]$$

 

조금 시간이 지난 후 식을 한번 검증해보자.

 

비례 항법 유도

 비례 항법 유도(PNG, Proportional Navigation Guidance)는 비행 경로각 변화율 명령 $\dot{\gamma_c}$이 시선각 변화율 $\dot{\lambda}$에 비례하도록 유도 명령을 생성한다. $N$은 항법 상수이다.

$$\dot{\vec{\lambda}}=\frac{\vec{R}_{TM} \times \vec{V}_{TM}}{\vec{R}_{TM} \cdot \vec{R}_{TM}}$$

$$\frac{d\vec{\gamma}_c}{dt} =N\dot{\vec{\lambda}}$$

$$\vec{a}_{c} = N \left[\dot{\vec{\lambda}} \times \vec{V}_M \right]$$

비례 항법 유도의 특징

 비례 항법 유도를 사용하면 시선각의 변화율을 줄이는 방향으로 유도하여, 미사일이 일정한 방향으로 표적을 바라보게 된다.

오늘날 사용되는 모든 호밍 시스템은 유도 법칙으로 비례 항법 유도의 형태를 이용하고 있다. 비례 항법 유도가 예나 지금이나 널리 사용된 이유는 다음과 같다.

 제한적 발사 조건 하에 느린 기동을 하는 항공기의 요격에 효율적인 유도 기법이며, 기존에 사용하고 있는 HW를 이용하여 쉽게 쓸 수 있다. 그리고 다른 유도 제어 법칙들은 미사일마다 다를 수 있으며 이런 법칙들은 가만히 있거나 일정 속도의 표적에 대해 효과적일 수는 있으나, 고 기동 표적을 대상으로 한다면 제어 법칙을 수정할 필요가 있다. 비례 항법 유도의 전반적 성능 연구는 선형 이론에 기반하는데, 이는 선형화가 결과 분석에서 현실성과 타협 없이 설계의 복잡성을 낮출 수 있다.

비례 항법 유도의 종류

 비례 항법 유도의 종류는 순수 비례 항법 유도(PPNG, Pure PNG), 진 비례 항법 유도(TPNG, True PNG) 등이 있다.

 순수 비례 항법 유도 (PPNG, Pure Proportional Navigation Guidance)

추적자의 속도에 직교하도록 가속도 명령을 생성한다.

$\vec{a}_c = N\left[\dot{\vec{\lambda}} \times \vec{V}_M \right]$

 진 비례 항법 유도 (TPNG, True Proportional Navigation Guidance)

시선각 방향에 직교하도록 가속도 명령을 생성한다. 이를 변형한 TPNG가 있는데, 이는 시선각 방향에 직교하며, 크기가 시선각 각속도 $\dot{\lambda}$와 접근율 벡터 $V_C$의 외적에 비례하도록 한다.

$\vec{a}_c = N'\left[\dot{\vec{\lambda}} \times \vec{V}_C \right], N'=|V_M|/|V_C|$

 증대된 비례 항법 유도 (APNG, Augmented Proportional Navigation Guidance)

 기동 표적에 대해 사용하는 유도 법칙으로, 미사일 가속도 명령에 추정된 표적의 가속도 비례 항을 포함한다.

 

 

 

이어지는 글

유도 기법은 항법 상수에 따라서 유도 특성이 달라진다.

 

1) 최적의 항법 상수는 있을까?

선형 가정 하에서 최적의 항법 상수 유도

https://stella47.tistory.com/17

 

2) 항법 상수에 따라서 유도 특성은 어떻게 변할까?

항법 상수에 따른 유도 특성

https://stella47.tistory.com/21

 

Reference.

1. Shneydor, N. A., Missile Guidance and Pursuit : Kinematics, Dynamics and Control, Elsevier, 1998, pp.69-73.

2. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer Science & Business Media, 2006, pp.189-191, 165,