TECS(Total Energy Control System) 논문 정리 및 구현 (1) - 정리

- 들어가며

일반적으로 고정익 비행체를 제어하는 구조는 시스템을 종축과 횡축으로 디커플링 시킨 후, 이를 각각 원하는 목표에 맞추어 제어기를 설계하는 구조를 가진다. 이때 종축 제어에 주목한다면, 종축은 직관적이게도 엘리베이터를 이용하여 피치를 제어하고 추력으로 속력을 제어한다. (이를 Lon_B라 하자) 그리고 에너지의 관점에서 본다면 고도와 속력은 위치 에너지와 운동 에너지의 교환관계를 가지므로, 피치 혹은 고도 변화율을 통해서 속력을 얻거나 잃고 추력을 통해 에너지를 공급하여 위치 에너지의 변화(고도 변화)를 꾀할 수 있다. (이를 Lon_A라 하자) 이를 정리하면 다음과 같다.

 

The Concept of TECS

TECS는 종축 비행 경로각과 대기 속력 제어 모드 기능을 제공하기 위한 에너지 제어 전략에 기초한 일반화된 MIMO를 사용한다. 추력은 총 에너지 요구량을 제어하는데, 엘리베이터는 포텐셜 에너지와 운동 에너지 간의 에너지 조절에 사용한다.

비행체의 에너지 량을 포텐셜 에너지와 운동 에너지로 표시하면 다음과 같다.

$$E_T = \frac{1}{2} m V_T^2 + mgh \left[ N \cdot m \right]$$

비행체의 에너지를 시간에 대해 미분하면 일률이 나온다.

$$\dot{E}_T = mV_T \cdot \dot{V}_T + mg \dot{h} \left[N\cdot m /s \right]$$

비행체의 운동에 에너지를 더하고 빼는 것은 추력과 항력이다. 이에 대해 쓰면

$$\dot{E}_T = \left(T-D \right) V_T = mV_T \cdot \dot{V}_T + mg \dot{h}$$

이는 각 힘이 하는 일률은 속력의 변화와 고도의 변화에 의해 힘과 속도로 쪼개어 볼 수 있다.

$$\dot{E}_T = \left(m\dot{V}_T \right) V_T + \left( mg \right) \dot{h} = \left(T-D\right) V_T$$

속력 변화에 대한 일률 항 - 힘 $m\dot{V}_T$를 가할 때의 속력 $V_T$

중력이 하는 일률 항 - 힘 $mg$를 가할 때의 속력 $\dot{h}$

은 추력과 항력의 차이에 의한 항 - 힘 $\left(T-D \right)$을 가할 때의 속력 $V_T$

이라고 설명할 수 있다.

위를 속력으로 나누게 되면 힘에 대한 식으로 바뀐다.

$$\left(T -D \right) =\Delta T= mg \left( \frac{\dot{V}_T}{g} + \frac{\dot{h}}{V_T} \right)$$

다시 이를 정리하면, 항력을 보상하고 남은 추력은 속도의 변화나 종축 비행 경로각에 사용될 수 있다는 것이다.

$$\Delta T =mg \left(\frac{\dot{V}_T}{g} + \text{sin}\gamma \right) \approx mg \left( \frac{\dot{V}_T}{g} + \gamma \right)$$

따라서 비행 경로각 $\gamma$를 가질 때 비행 가속도 $\dot{V}_T$를 인가한다면, 요구 추력 $T_{ref}$는 다음과 같이 정리된다. 아래 식은 항공기 성능 분석 시에도 볼 수 있는 수식이다.

$$T_{req} = W \left(\frac{\dot{V}_T}{g} + \text{sin}\gamma \right) + D$$

 

양의 엘리베이터 조작이 피치 업을 유발한다면($+\Delta \delta_e \rightarrow +\theta$), TECS 상의 관계를 정리하면 다음과 같다.

$$\cases{\delta_T \leftarrow \dot{E}_{k} + \dot{E}_{p}= \frac{\dot{V}}{g} + \text{sin}\gamma \\ \delta_e \leftarrow \dot{E}_{k} - \dot{E}_{p} = \frac{\dot{V}}{g}- \text{sin}\gamma  }$$

말로 설명하면 다음과 같다.

1. 전체 에너지를 공급하는 것은 추력으로 공급된다.

2. 운동 에너지와 포텐셜 에너지를 분배하는 것은 종축 자세를 제어할 때 발생한다.

3. 포텐셜 에너지가 증가해야하고 운동 에너지가 증가해야한다면, 추력을 증가시켜야한다.

4. 포텐셜 에너지가 증가해야하고 운동 에너지가 감소해야한다면, 피치를 증가시켜야한다.

(4) 항의 부연 설명을 하면, 기수를 올린다는 것은 고도 상승을 꾀하고, 고도 상승은 운동 에너지를 포텐셜 에너지로 변환하겠다는 이야기이다. 그렇다면 운동 에너지가 감소시키고 싶다면 피치를 증가시켜야 할 것이다. 피치라고 표현했지만, 이는 엘리베이터 명령, 피치 각 명령, 종축 비행경로각 명령이 될 수 있다. 물론 종축 비행경로각이면 직접적으로 에너지를 분배할 수 있을 것이다.

 

위의 생각에 기초하여 TECS의 PI 제어기를 설계하면 다음과 같다.

$$\delta_{T_c} = \left(K_{TP} + K_{TI} \frac{1}{s} \right) \left( \frac{\dot{V}_e}{g} + \gamma_e \right)$$

$$\delta_{E_c} = \left(K_{EP} + K_{EI} \frac{1}{s} \right) \left( \frac{\dot{V}_e}{g} - \gamma_e \right)$$

 

PX4의 TECS는 다음과 같은 구조를 가진다. [6]

특이하게도 피드포워드 제어를 수행하는데, 이는 반응 속도를 향상시키기 위해서라고 생각된다.

$$\dot{E}_e = \dot{E}_{sp} - \dot{E}, \hspace{5mm} \dot{B}_e = \dot{B}_{sp} - \dot{B}$$

$$T_{sp} = \frac{1}{\tau_{thr}} K_{\dot{E}\rightarrow \Delta T} \left[ \text{Damping}_T + \text{Integrator}_T + \text{FeedForward}_T \right]$$

$$\cases{\text{Damping}_T = K_{TD} \dot{E}_e \\ \text{Integrator}_T = K_{TI} \int \dot{E}_e \\ \text{FeedForward}_T = f_T \left(\dot{E}_{sp}, T_{cruise} \right) }$$

$$ \theta_{sp} = \frac{1}{\tau_{\theta}} K_{\dot{B} \rightarrow \theta } \left[ \text{Damping}_\theta + \text{Integrator}_\theta + \text{FeedForward}_\theta \right] $$

$$ \cases{\text{Damping}_\theta = K_{\theta D} \dot{B}_e \\ \text{Integrator}_\theta  = K_{\theta I} \int \dot{B}_e \\ \text{FeedForward}_\theta = f_\theta \left( \dot{B}_e \right) }$$

 

 

Reference.

1. Lambregts A.A. (2013) TECS Generalized Airplane Control System Design – An Update, Advances in Aerospace Guidance, Navigation and Control. aerospace-europe.eu/media/books/delft-0096.pdf

2. Lamp M., Luckner R. (2013) The Total Energy Control Concept for a Motor Glider, Advances in Aerospace Guidance, Navigation and Control. aerospace-europe.eu/media/books/delft-0107.pdf

3. Lambregts, A. A. (1984) Functional Integration of Vertical Flight Path and Speed Control using Energy Principles, NASA. Langley Research Center. ntrs.nasa.gov/citations/19840012520

4. Bruce, K. R., Kelly, J. R. and Person, Jr. L. H (1986) NASA B737 Flight Test Results of the Total Energy Control System, AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, Aug. 18-20

5. Argyle, M. E. and Beard, R. W., "Nonlinear Total Energy Control for the Longitudinal Dynamics of an Aircraft"

6. "Control Diagrams," https://docs.px4.io/main/en/flight_stack/controller_diagrams.html