비기동 표적에 대해, 선형 가정 하에서 비례항법유도의 최적 항법 상수 유도

본 글은 1975년 Bryson의 Applied Optimal Control의 예제 중, 제곱꼴 지표를 가지는 선형 시스템 최적화 문제로 요격문제를 푼 글입니다.

 

요약

비례항법유도의 유도특성은 항법 상수에 따라 달라진다.

또한 미사일이 표적을 "잘" 요격하기 위한 최적의 항법 상수가 있지 않을까?

본 글은 선형화를 통해 최적의 항법 상수를 유도한다. 

 

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요격 or 랑데뷰 문제의 도식

 

속도 $V$를 가진 미사일이 수직 방향 속도$v$와 수직 방향 오차 $y$를 가지고 있다.

수직방향 가속도 $a$를 입력으로 가한다면 운동방정식은 다음과 같다.

$$\dot{v} = a, \dot{y} = v$$

$$\dot{x} = F(t)x+G(t)u$$

$$\begin{bmatrix} \dot{v} \\ \dot{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} a$$

미사일은 충돌 직전까지의 제어 입력인 가속도 $a$와 최종 단계의 수직 방향 속도 $v$, 수직방향 오차$y(t_f)$를 최소화하는 방향으로 제어 입력을 만들고자 한다. 조건으로부터 다음의 성능 지표를 최소화하는 입력을 구하자.

$$J=\frac{1}{2} \left(x^T S_f x \right)_{t=t_f} + \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f} \left(x^T A x + u^T B u \right) dt$$

$$J= \frac{1}{2} x^T \begin{bmatrix}c_1 & 0 \\0 & c_2 \end{bmatrix} x | _{t=t_f} + \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f} a^2 dt$$

Euler-Lagrange 방정식으로부터

$$H = \frac{1}{2}u^2 + \lambda^T \left(Fx+Gu\right)$$

$$\dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial x} =- \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^T \lambda= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \lambda $$

$$0=\frac{\partial H}{\partial u}=Bu+G^T \lambda \rightarrow u = \begin{bmatrix} -1 \\0 \end{bmatrix} \lambda $$

$$\lambda(t_f)=S_f x(t_f)$$

그래서 행렬로 각 벡터의 미분방정식을 선형 상태 방정식으로 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix}\dot{v}\\ \dot{y} \\ \dot{\lambda_1} \\ \dot{\lambda_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&-1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v\\y\\ \lambda_1 \\ \lambda_2\end{bmatrix}$$

$\dot{\lambda_2} = 0$이라는 것으로부터 $\lambda_{2f} = \lambda_2 (t) = c_2 y_f$이며, $\lambda_1 (t)$를 구할 수 있다.

$$\lambda_1 (t) = \lambda_{1f} + c_2 y_f (t_f -t) = c_1 v_f + c_2 y_f (t_f - t)$$

여기서 $\lambda_1 (t) = -a$ 이므로 $v_f$와 $y_f$는 0이고 싶지만 일단은 미지수이다. 계속 $\lambda_1$과 관련되어 $v$와 $y$ 를 풀어보자.

$$a(t) = - c_1 v_f - c_2 y_f (t_f - t)$$

$$\dot{v} = -\lambda_1 = - c_1 v_f - c_2 y_f (t_f - t)$$

$$v_f -v(t) = -c_1 v_f \left(t_f -t\right) - \frac{1}{2} c_2 y_f \left(t_f -t\right) ^2 $$

여기서부터 식이 복잡해서 $T=(t_f -t)$라 하자. 단순히 적분해서 정리하면

$$\cases{v(t) =  \left(1+c_1 T\right) v_f+ \frac{1}{2} c_2  T^2 y_f\\y(t) = - \left(T+ \frac{1}{2} c_1 T^2 \right)v_f + \left(1- \frac{1}{6} c_2 T^3 \right) y_f}$$

행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix}v(t)\\y(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(1+c_1 T\right) & \frac{1}{2} c_2  T^2 \\ - \left(T+ \frac{1}{2} c_1 T^2 \right) & \left(1- \frac{1}{6} c_2 T^3 \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_f \\ v_f \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix} v_f \\ v_f \end{bmatrix} = \frac{1}{det} \begin{bmatrix}  \left(1- \frac{1}{6} c_2 T^3 \right) & -\frac{1}{2} c_2  T^2 \\ \left(T+ \frac{1}{2} c_1 T^2 \right) & \left(1+c_1 T\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v(t)\\y(t)\end{bmatrix} $$

$$det = \left(1+c_1 T\right) \left(1- \frac{1}{6} c_2 T^3 \right) + \frac{1}{2} c_2  T^2 \left(T+ \frac{1}{2} c_1 T^2 \right)$$

$$det = c_1 c_2 \left[ \frac{1}{c_1 c_2} + \frac{1}{c_2} T + \frac{1}{3 c_1} T^3 + \frac{1}{12} T^4 \right] =c_1 c_2 \left[ \left( \frac{1}{c_1} + T \right) \left( \frac{1}{c_2} + \frac{1}{3} T^3 \right) -\frac{1}{4} T^4 \right]$$

역행렬을 구함으로써 입력인 가속도 $a(t)$를 속도 $v(t)$와 수직 거리 $y(t)$로 표현할 수 있다.

$$a(t) = -\Lambda_v (T) v(t) - \Lambda_y (T) y(t)$$

$$\Lambda_v (T) = \frac{\frac{1}{c_2} + \frac{1}{c_1}T^2 + \frac{1}{3} T^3}{D(T)}$$

$$\Lambda_y (T) = \frac{\frac{1}{c_1} T + \frac{1}{2} T^2 }{ D(T)}$$

 

선형 가정 하의 요격 문제의 해법과 비례항법유도의 최적 항법 상수

최종 단계의 수직방향 오차 $y_f\rightarrow0$하고자 하여 $0<c_1<<c_2$로 성능지표를 설정한다.

그렇다면 가속도 입력 $a(t)$로 정리된다.

$$a(t)=-3 \left[ \frac{v(t)}{T} +  \frac{y(t)}{T^2} \right]$$

여기서 시선각 $\sigma$와 시선 방향의 접근 속도 $V$는 다음과 같은 관계를 가진다.

$$\sigma \simeq \frac{y(t)}{V T}$$

그렇다면 가속도 입력 $a_{PNG}(t)$은 다음과 같다.

$$a_{PNG}(t) = -3V\dot{\sigma}$$

위 식은 마지막에는 요격하게되는, 최종 수직 방향 오차 $y_f=0$ 인 비례항법유도이다.

 

선형 가정 하의 랑데뷰 문제의 해법과 추적유도 + 비례항법유도의 최적 유도 이득 & 항법 상수

최종 단계에서 수직방향 속도 $v_f \rightarrow0$과 오차 $y_f \rightarrow0$를 하고자 하면, 성능지표에서 $0<<c_1 , 0<<c_2$로 설정하여 결국 랑데뷰하는 가속도 입력 $a_{rendezvous}(t)$은 다음과 같다.

$$a_{rendezvous}(t) = -V\left(4\dot{\sigma} + \frac{2\sigma}{T}\right)$$

 

 

 

 

Reference

1. Bryson, A. E., and Ho, Y. C., Applied Optimal Control - Optimization, Estimation, and Control, Taylor & Francis Group, New York, 1975., pp.148-155.

2. Tahk, M. J., "A Tutorial on Linear Quadratic Optimal Guidance for Missile Applications," Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol.19, No.3, 2015, pp.217-234.