Orbital Mechanics - Ch.2 The two-body problem

본 글은 Howard Curtis의 Orbital Mechanics for Engineering Students를 보고 정리한 글입니다.

 

 

본 장은 두 물체 간의 상호의 중력 끌림에 따른 운동을 결정하는 고전적인 문제에 대해서 벡터 기반 접근법을 다룬다.

 

2.2 관성 좌표계에서의 운동 방정식

질량 중심의 위치는 관성 좌표계에 상대적이다. 좌표계의 원점은 등속 운동을 할 수 있으나, 축이 회전하지 않는다.

질량 $G$의 중심의 위치 벡터 $R_G$는 다음과 같이 정의된다. 절대 속도와 가속도도 다음과 같다. (2.1/2/3)

$$R_G = \frac{m_1 R_1 + m_2 R_2 }{m_1 + m_2} $$

$$v_G = {\dot{R}}_G = \frac{m_1 {\dot{R}}_1 + m_2 {\dot{R}}_2 }{m_1 + m_2} $$

$$a_G = {\ddot{R}}_G = \frac{m_1 {\ddot{R}}_1 + m_2 {\ddot{R}}_2 }{m_1 + m_2} $$

$m_1$에 대한 $m_2$의 위치 벡터를 $r$이라 하면 (2.4/5)

$$r=R_2 - R_1 \hspace{10mm} \hat{u}_r = \frac{r}{||r||}$$

$m_1$에 의해 $m_2$에 가해지는 힘은 (2.6/7)

$$F_{21}=\frac{G m_1 m_2}{r^2} \left(-\hat{u}_r \right) = -\frac{G m_1 m_2}{r^2} \hat{u}_r $$

$${\ddot{r}}_2 = - \frac{G m_1 }{r^2} \hat{u}_r$$

뉴턴의 제 3법칙인 작용-반작용 법칙에 따라, $F_{12} = -F_{21}$이므로 $m_1 {\ddot{R}_1} + m_2 {\ddot{R}_2}=0$임을 알 수 있다.

그러므로 이체 계(two-body system)의 질량 중심은 관성 좌표계의 중심으로써 사용할 수 있다.

 

중력 $F_{21}$의 포텐셜 에너지 $V$는 다음과 같다.

$$V=-\frac{G m_1 m_2}{r}$$

힘은 그래디언트 연산자의 의미를 통해서 이 포텐셜 에너지 함수로부터 얻을 수 있다.

$$F=-\nabla V$$

 

2.3 상대 운동 방정식

식 (2.7/8)에 질량을 곱하면

$$-\frac{G m_1^2 m_2}{||r||^2} \hat{u}_r = m_1 m_2 \ddot{R}_2$$

$$\frac{G m_1 m_2^2}{||r||^2} \hat{u}_r = m_1 m_2 \ddot{R}_2$$

$$m_1 m_2 \left(\ddot{R}_2 - \ddot{R}_1 \right) = - \frac{G m_1 m_2}{||r||^2} \left(m_1 + m_2 \right) \hat{u}_r$$

질량 곱을 소거하면 (2.13)

$$\ddot{r} = -\frac{G \left( m_1 + m_2 \right)}{||r||^2} \hat{u}_r$$

중력에 대한 변수 $mu$를 다음과 같이 정의하면 식을 다음과 같이 정리할 수 있다. (2.14/15)

$$\mu=G \left( m_1 + m_2 \right)$$

$$\ddot{r}=-\frac{\mu}{||r||^3} r $$

이는$m_1$에 상대적인 $m_2$의 운동을 지배하는  2차 미분 방정식이다. $m_1$과 $m_2$을 바꾼다면 부호만 바꿔주면 된다.

절대 가속도 $\ddot{r}$와 상대 가속도 $\ddot{r}_{rel}$는 다음과 같다.

$$\ddot{r} = \ddot{r}_{rel} + \dot{\Omega} \times r + \Omega \times \left( \Omega \times r \right) + 2 \Omega \times \dot{r}_{rel}$$

 

$$r_1 = -\frac{m_2}{m_1}r_2 \hspace{10mm} r=\frac{m_1 + m_2}{m_1} r_2$$

식 (2.6/7)에서 위 식을 대입하면 (2.17)

$$m_2 \ddot{r}_2 = -G \frac{m_1 m_2 } {||r||^2} \hat{u}_r = -G \frac{m_1 m_2}{||r||^3} r = -G \frac{m_1 ^4 m_2}{ \left( m_1 + m_2 \right)^3||r_2||^3} r  = -G \frac{m_1 ^3 m_2}{ \left( m_1 + m_2 \right)^2||r_2||^3} r_2$$

$$ \ddot{r}_2 = -\left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)^3 \frac{\mu}{||r_2||^3} r_2$$

다음과 같다 하면

$$\mu' = \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right) ^3 \mu \hspace{10mm} \mu=G \left( m_1 + m_2 \right)$$

$$\ddot{r}_2 = - \frac{\mu'}{r_2^3} r_2$$

위 식은 (2.15)의 형태와 동일하다.

 

2.4. 각 운동량과 궤도 공식

$m_1$에 상대적으로 질량 $m_2$의 각운동량은 $m_2$의 상대 선형 운동량 $m_2 \dot{r}$의 운동량이다.

$$H_{21} = r \times m_2 \dot{r}$$

이를 질량 $m_2$으로 나누면 (2.18)

$$h=r \times \dot{r}$$

$h$의 시간 미분을 취하면

$$\frac{dh}{d t} = \dot{r} \times \dot{r} + r \times \ddot{r}$$

그러나 $\dot{r} \times \dot{r}=0$이다. 게다가 $$\ddot{r}=-\left(\mu/{||r||}^3\right) r$ 이므로

$$r \times \ddot{r} = r \times \left( - \frac{\mu}{r^3}r \right) = - \frac{\mu}{r^3} \left(r \times r \right)=0$$

그러므로 (2.19)

$$\frac{d h}{d t} = 0$$

$$h=r \times \dot{r}$$이므로, 평면의 단위 벡터는 (2.20)

$$\hat{h} = \frac{h}{||h||}$$

또한 식 (2.19)으로부터, 단위 벡터는 상수이다. 게다가 $m_1$ 주변의 $m_2$의 경로는 단일 평면에 놓인다.

궤도가 평면을 형성하기 때문에, 

$$h = ||r|| ||v_{\perp}|| \hat{h}, \hspace{10mm} ||h|| = ||r|| ||v_{\perp}||$$

$$\partial A = 0.5 \times v \partial t \times r \text{sin} \phi = 0.5 ||r|| ||v_\perp|| dt$$

그러므로 (2.22)

$$\frac{dA}{dt} = \frac{h}{2}$$

좌항은 면적 속도라고 부르며 이는 상수이다. 이 결과는 케플러의 제 2법칙으로 알려져있으며, 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나간다는 것이다.

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$$r \cdot r = ||r||^2$$

으로부터, 시간 미분을 취하면 (2.25a)

$$r \cdot \dot{r} = || r || ||\dot{r} ||$$

식 (2.15)으로부터 첫 번째 식을 세우고

$$\ddot{r} \times h = - \frac{\mu}{||r||^3} r \times h $$

시간 미분과 $\dot{h}=0$으로부터 두 번째 식을 세우면 (2.27)

$$\frac{d}{dt} \left(\dot{r} \times h \right)  = \ddot{r}\times h + \dot{r} \times \dot{h} = \ddot{r}\times h$$

다음과 같이 쓸 수 있다. $h=r \times \dot{r}$

$$\matrix{\frac{1}{||r||^3} r \times h & = & \frac{1}{||r||^3} r \times \left( r \times \dot{r} \right) \\ & = & \frac{1}{||r||^3} \left[ r \left(||r|| ||\dot{r}|| \right) - \dot{r} ||r||^2 \right]  \\ &= &\frac{r ||\dot{r}|| - \dot{r} ||r||} {||r||^2}}$$

시간 미분으로부터 (2.28)

$$\frac{1}{||r||^3} r \times h = - \frac{d}{dt} \left( \frac{r}{||r||} \right)$$

식 (2.27/28)을 (2.26)에 대입하면

$$\frac{d}{dt} \left(\dot{r} \times h \right) =  \frac{d}{dt} \left( \mu \frac{r}{||r||} \right)$$

$$\frac{d}{dt} \left(\dot{r} \times h - \mu \frac{r}{||r||}\right) =  0$$

이는 (2.29)

$$\dot{r} \times h - \mu \frac{r}{||r||} = \text{C}$$

$\text{C}$는 $\mu$와 같은 차원을 가지는 임의의 상수이다. 양 변에 운동량 벡터 $h$에 대해 내적을 취하면

$$\left(\dot{r} \times h \right)\cdot h - \mu \frac{r\cdot h}{||r||} = \text{C} \cdot h = 0$$

좌변이 모두 0이므로, 벡터 $\text{C}$와 $h$는 직교하며, 궤도 평면과도 수직하다. 이는 $\text{C}$는 반드시 궤도 평면에 놓인다.

식 (2.29)를 다시 정리하면

$$\frac{r}{||r||} + e =\frac{\dot{r} \times h}{\mu} ,\hspace{10mm} e=\text{C}/\mu$$

상대 위치 벡터 $r$을 양 변에 내적하면 (2.34)

$$||r|| + r \cdot e = \frac{||h||^2}{\mu} $$

$$r \cdot e = ||r||||e|| \text{cos}\theta $$

$||e||$는 이심률(eccentricity)이며, $\theta$는 전근점 이각(true anomaly)이다. 이로부터 (2.35)

$$||r|| = \frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1 + ||e|| \text{cos}\theta }$$

이는 $m_1$ 주변의 물체 $m_2$의 경로를 정의하는, $m_1$에 상대적인 궤도 방정식이다. $\mu$, $|h|$, $||e||$는 상수이다. 타원을 포함하여, 궤도 방정식은 원뿔 곡선(conic section)을 기술하기 때문에, 이는 이름하야 케플러의 제 1법칙의 수학적 표현이며, 행성은 태양 근처의 타원 경로를 따른다는 것이다. 이체 궤도(Two-body orbit)은 케플러 궤도(Keplerian orbit)라고 부른다.

 

식 (2.21)과 (2.35)으로부터 (2.38)

$$||v_\perp|| = ||h||/||r|| = \frac{\mu}{||h||} \left( 1+ ||e|| \text{cos}\theta \right)$$

$||v_r|| = ||\dot{r}||$으로부터, $$||\dot{\theta}|| = ||h||/||r||^2 $$이므로

$$||\dot{r}|| = \frac{||h||^2}{\mu} \frac{||e|| \text{sin}\theta}{\left( 1 + ||e|| \text{cos}\theta \right)^2 } \frac{||h||}{||r||^2}$$

식 (2.35)으로부터 다시 정리하면 (2.39)

$$||v_r|| = \frac{\mu}{||h||} ||e|| \text{sin} \theta $$

$m_2$가 $m_1$과 가장 가까울 때 (r이 가장 작고, $\theta=0$), 장축(Apse line) 상에 놓인 최 근원점을 근점(periapsis)라 부른다. 근점까지의 거리 $r_p$는 전근점 이각(true anomaly) $\theta=0$으로 하면 얻을 수 있다. (2.40)

$$r_p = \frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1 + ||e||\theta }$$

깔끔하게, $||v_r||=0$이면 근점이다.

 

Latus rectum은 장축에 직교하는 인력 중심(center of attraction)을 지나는 현(chord)이다. 현대의 용법으로, $p$는 궤도의 매개변수라 부르며, 식 (2.35)으로부터, (2.43)

$$p=\frac{||h||^2}{\mu}$$

 

어떤 이유가 없다면, 이심률 벡터는 오른쪽을 가리키고, $m_2$는 $m_1$ 주변을 반시계 방향으로 회전한다고 가정한다. 즉, 일반적인 극좌표계 부호 규약과 일치하여, 전근점 이각(true anomaly)는 반시계 방향을 양수로 계측한다.

 

 

2.5 에너지 법칙

뉴턴의 제 2법칙 식(2.15)에 대해 상대 각운동량 $h$을 외적함으로써 식 (2.29/35), 궤도 공식을 유도했다.

식 (2.15)에 대해 상대 선형 운동량 $\dot{v}$을 외적하여 식을 얻어보자. (2.44)

$$\ddot{r}\dot{r} = - \mu \frac{r \cdot \dot{r}}{||r||^3}$$

좌변은 다음과 같이 정리할 수 있다. (2.45)

$$\ddot{r}\dot{r} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left( \dot{r} \cdot \dot{r} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{||v||^2}{2} \right)$$

우변은 다음과 같이 정리된다.

$$\mu \frac{r \cdot \dot{r}}{||r||^3}  = \mu \frac{r \dot{r}}{||r||^3} = \mu \frac{\dot{r}}{||r||^2} = - \frac{d}{dt} \left(\frac{\mu}{||r||} \right)$$

위의 정리로부터 (2.47)

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{||v||^2}{2} - \frac{\mu}{||r||} \right) = 0$$

$$\frac{||v||^2}{2} - \frac{\mu}{||r||} = \epsilon \text{(const.)}$$

위 식은 비 운동 에너지와 질량 $m_1$의 중력장에 의한 비 포텐셜 에너지에 대한 식으로, 이름하야 에너지 보존에 대한 기술이며, 비-기계적 에너지(Specific mechanical energy)는 궤적의 모든 점에서 동일하다는 것이다. $\epsilon$이 상수라면, 장축단에서의 값을 평가할 수 있다. (2.48)

$$\epsilon = \epsilon_p = \frac{||v_p||^2}{2} - \frac{\mu}{||r_p||} $$

$|r_p|$과 $|v_p|$는 장축단에서의 위치와 속력이다. 장축단에서 $|v_r|=0$이므로, $|v_p| = |v_\perp|= |h|/|r_p|$ 임을 알고 있으니 (2.49)

$$\epsilon = \frac{1}{2} \frac{||h||^2}{||r_p||^2} - \frac{\mu}{||r_p||}$$

식 (2.40)을 대입하면, 궤도의 비에너지를 위한 공식을 얻을 수 있다.

$$\epsilon = -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{||h||^2} \left( 1- e^2 \right)$$

분명히 하면, 궤도 에너지는 궤도 변수에 독립적이지 않다.

 

2.6 원형 궤도 ($e=0$)

asdf

 

2.7 타원 궤도 ($0<e<1$)

식 (2.35)으로부터 

$$||r|| = \frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1 + ||e|| \text{cos}\theta }$$

거리 $||r||$가 최대가 되는 지점은 전근점 이각(True anomaly) $\theta=180\degree$ 일 때이며, 이를 apoapsis 궤도 최원점이라 하며 $r_a$라 하면 (2.60)

$$||r_a|| = \frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1 + ||e|| }$$

장축 apse line 상의 궤도 최근점 periapsis $P$ 으로부터 궤도 최원점 apopsis $A$ 의 거리를 $2a$라고 하면 (2.61)

$$2a = r_p + r_a$$

$$a= \frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1-e^2} $$

$a$는 타원의 장반경 축 semi-major axis이다. 위 식을 이용하여 장반경 $a$으로 궤도 방정식 (2.35)을 나타내면 (2.62)

$$r=a \frac{1-e^2}{1+e\text{cos} \theta} $$

극좌표계 $r,\theta$의 원점인 강체 $m_1$의 위치를 $F$라 하자. 타원 중심 $C$는 최원점 apoapsis 와 최근점 periapsis의 중간에 놓여있다. 타원 중심 $C$에서 강체 $m_1$의 위치 $F$를 $CF$이라 하면

$$CF=a -FP = a -r_p$$

 

 

단반경 $b$을 장반경 $a$과 이심률 $e$으로 표현하면 (2.66)

$$b=a \sqrt{1-e^2}$$

 

 

타원의 면적은 $A=\pi ab$으로 계산한다. 타원 궤도의 주기 $T$를 찾기 위해, 케플러의 제 2법칙을 가져오면, $dA/dt = h/2$

$$\Delta A = \frac{h}{2} \Delta t$$

완전하게 한 번을 돌면, $\Delta =\pi ab$, $\Delta t = T$이므로,

$$T=\frac{2\pi ab}{h}$$

$$T=\frac{2\pi}{h}a^2 \sqrt{1-e^2} = \frac{2\pi}{h} \left( \frac{h^2}{\mu} \frac{1}{1-e^2} \right)^2 \sqrt{1-e^2}$$

$$T=\frac{2\pi }{\mu^2} \left( \frac{h}{\sqrt{1-e^2} \right)^3$$

식 (2.61)으로부터 $h=\sqrt{\mu a \left(1-e^2 \right)} $

$$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\mu}} a^{3/2}$$

 

 

2.10 Perifocal Frame

Perifocal frame은 궤도를 위한 natural frame이다. 이는 궤도의 초점을 중심으로 한다. 

xy 평면은 궤도 평면이며, x 축은 장축단 periapse 를 향한다. 장축 상의 단위 벡터는 $\hat{p}$이라 쓴다. 단위 벡터 $\hat{q}$ 방향을 이루는 y 축은 x 축에 대해 90도인 전근점 이각 true anomaly 상에 놓여있다. z 축은 각운동량 벡터 $h$ 방향으로 궤도 평면에 수직하며, 단위 벡터는 $\hat{w}$이다.

$$\hat{w}=\frac{h}{||h||}$$

Perifocal frame에서, 위치 벡터 $r$은 다음과 같다.

$$r = \bar{x} \hat{p} + \bar{y} \hat{q}$$

$$\bar{x} = ||r|| \text{cos}\theta \hspace{10mm} \bar{y} = ||r|| \text{sin} \theta$$

$$r=\frac{||h||^2}{\mu} \frac{1}{1 + e \text{cos}\theta } \left( \text{cos}\theta \hat{p} + \text{sin} \theta \hat{q}$$

속도는 $r$의 시간 미분으로 얻는다.

$$v=\dot{r}=\dot{\bar{x}} \hat{p} + \dot{\bar{y}}\hat{q}$$

$$\cases{ \dot{\bar{x}} &=& \dot{r} \text{cos}\theta -r\dot{\theta} \text{sin} \theta \\ \dot{\bar{y}} &=& \dot{r} \text{sin} \theta + r \dot{\theta} \text{cos}\theta } $$

식 (2.39)으로부터 속력의 반경 성분 $\dot{r}$은 (2.112/113)

$$\dot{r} = \frac{\mu}{h} e \text{sin}\theta$$

$$r\dot{\theta} = v_{\perp}=\frac{\mu}{h} \left( 1 + e \text{cos}\theta \right)$$

직교 좌표계로 표현하면

$$\cases{ \dot{\bar{x}} &=& - \frac{\mu}{h} \text{sin} \theta  \\  \dot{\bar{y}} = \frac{\mu}{h} \left( e + \text{cos} \theta \right) }$$

$$v=\frac{\mu}{h} \left[ -\text{sin} \theta \hat{p} + \left( e + \text{cos}\theta \right) \hat{q} \right]$$

 

 

2.11 The Lagrange Coefficients

궤도 운동을 하는 물체의 위치와 속도가 주어져 있다면, 다음 시간의 위치와 속도는 초기 값에 대해서 찾을 수 있다.

위치와 속도 벡터 식 (2.107/110)로부터 시작하면 (2.116/117)

$$\matrix{ r &=& \bar{x} \hat{p} + \bar{y} \hat{q} \\ v &=& \dot{\bar{x}} \hat{p} + \dot{\bar{y}} \hat{q} }$$

$$\matrix{ r_0 &=& \bar{x}_0 \hat{p} + \bar{y}_0 \hat{q} \\ v_0 &=& \dot{\bar{x}}_0 \hat{p} + \dot{\bar{y}}_0 \hat{q} }$$

각운동량 $h$은 상수이다. 그래서 초기 조건으로부터 이를 계산해보자.

$$h=r_0 \times v_0 = \left| \matrix{ \hat{p} & \hat{q} & \hat{w} \\ \bar{x}_0 & \bar{y}_0 & 0 \\ \hat{\bar{x}}_0 & \hat{\bar{y}}_0 & 0 } \right| = \hat{w} \left( \bar{x}_0 \dot{\bar{y}}_0 - \bar{y}_0 \dot{\bar{x}}_0 \right) $$

초기값으로부터 단위벡터를 계산하면

$$\hat{q} = \left(1/y_0 \right) r_0 - \left( \bar{x}_0 /\bar{y}_0 \right) \hat{p}$$

 

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2.12 Restricted Three-Body

 

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[1] Curtis, H., Orbital Mechanics for Engineering Students, Elsevier, Available at http://www.nssc.ac.cn/wxzygx/weixin/201607/P020160718380095698873.pdf