하루를 24시간이라 하자.
1 day = 24 hours = 1,440 mins = 86,400 mins
공전면에 대한 자전축 기울기 $\epsilon_{earth} = 23.44^{\circ}$
항성일 Sidereal day 86164.0905sec, 23.9344696 hrs
Orbital Parameters
근일점 Perihelion $r_p = 147.095 \cdot10^6 \text{km}$
원일점 Aphelion $r_a = 152.100 \cdot10^6\text{km}$
최고 궤도 속력 $v_p = 30.29 \text{km}$
최저 궤도 속력 $v_a = 29.29 \text{km}$
공전 궤도 이심률 Orbit eccentricity $e_{earth} = 0.0167282$
$$e=\frac{r_a - r_p}{r_a + r_p}$$
장반경 Semi-major axis $a = (r_p + r_a)/2 = 149.597.5 \cdot 10^6\text{km}$
단반경 Semi-minor axis $b = a \sqrt{1-e^2} = 149.576.6 \cdot 10^6\text{km}$
태양의 GM $GM_s = 132,712.0 \cdot 10^6 \text{km3/sec2}$
지구의 GM $GM_e = 0.39860 \cdot 10^6 \text{km3/sec2}$
$mu = GM_s + GM_e = 132.712.4 \cdot 10^6 \text{km3/sec2}$
비 각 운동량 Specific Angular Momentum $h= 4,455.5100 \cdot 10^6\text{km2/s}$
$$h=r_p \cdot v_p = r_a \cdot v_a \hspace{5mm} \text{or} \hspace{5mm} r = \frac{1}{\mu} \frac{h^2}{1+e \text{cos}\theta} \rightarrow h = \sqrt{r_p \cdot \mu \left( 1+ e \right) }$$
항성 공전 주기 Sidereal orbit period $T_e = 365.256 \text{days} = 8766.134 \text{hrs}$
$$T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}} a^{3/2} = \frac{2 \pi}{\mu^2}\left(\frac{h}{\sqrt{1-e^2}}\right)^3$$
항성 자전 주기(항성일) Sidereal rotation period, Revolution Period $t_e = 23.9345 \text{hrs}$
태양일 Solar day $ 1 \text{day}=\frac{1}{1/t_e - 1/T_e}=24.0000 \text{hrs}$
태양일은 회합 주기를 구하는 방법으로 구할 수 있다.
공전 궤도 경사 Orbit inclination $i_{moon} = 0.00^{\circ}$
Orbital Motion (1)
태양과 지구에 대해, 공전 궤도를 보면 다음과 같다.
항성 자전 주기 $t_e$와 태양일 $\text{SD}$에 대해서 애니메이션을 그려보면 다음과 같다.
지구의 항성 자전 주기 기준으로 볼 때, 지구는 항상 일정한 위상을 보인다.
태양일은 지구의 회합일이므로 지구의 위상은 항상 태양을 바라보는 형태로 나타나게 된다.
애니메이션 코드는 다음과 같다.
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%% Basic Parameters
clc;clear;
SD = 24*60*60; % Solar day
Twe_sun = 609.12 * 60*60;
Twe_earth = 23.9345 * 60*60; % Sidereal rotation period
Twe_moon = 655.720 * 60*60; % Sidereal rotation period
% Earth - Moon
% fprintf("Earth - Moon Orbit\n");
% relation = "Earth-Moon";
% ra = 0.4055E6;
% rp = 0.3633E6;
% Twe_body = Twe_earth;
% Twe_sat = Twe_moon;
% i = 5.14;
% GM_m = 0.004900E6;
% GM_e = 0.398600E6;
% mu = GM_m + GM_e;
% Sun - Earth
fprintf("Sun - Earth Orbit\n");
relation = "Sun-Earth";
rp = 147.095E6;
ra = 152.100E6;
Twe_body = Twe_sun;
Twe_sat = Twe_earth;
GM_s = 132712E6;
GM_e = 0.39860E6;
te = 23.9345 * 60*60;
i = 0.000;
mu = GM_s + GM_e;
e = (ra - rp)/(ra + rp);
h = sqrt(rp * mu * (1 + e * cos(0)));
T = (2 * pi / power(mu,2)) * power(h/sqrt(1-e*e),3);
fprintf("GM \t:%15.6f 10^6 km2/sec \n",mu/1E6);
fprintf("Semi-major\t:%15.6f 10^6 km \n",ra/1E6);
fprintf("Semi-minor\t:%15.6f 10^6 km \n",rp/1E6);
fprintf("Periods\n");
fprintf("- Sidereal Rotation ------ Sidereal Orbit ------ Sidereal Rotation ---\n");
fprintf("%15.2f sec - %15.2f sec - %15.2f sec \n", Twe_body, T, Twe_sat);
fprintf("%15.6f hrs - %15.6f hrs - %15.6f hrs \n", Twe_body/3600, T/3600, Twe_sat/3600);
fprintf("%15.6f day - %15.6f day - %15.6f day \n", Twe_body/(24*60*60), T/(24*60*60), Twe_sat/(24*60*60));
%% Calculate states
syms Eval;
we_sat = 2*pi / Twe_sat;
we_body = 2*pi / Twe_body;
dt = Twe_sat;
% dt = SD;
% dt = 60*60;
scale_bar = rp * 0.01;
for i = 0 : dt : floor(T)
t = i; % Seconds
% Rotation Angle from Revolution Period
Ae_body = we_body * t;
Ae_sat = we_sat * t;
% Anomaly as a function of time
Me = warp_2pi(2 * pi * t / T);
E = double(vpasolve((Eval - e * sin(Eval)) - Me, Eval));
theta = 2 * atan(sqrt((1+e)/(1-e))*tan(E/2));
% fprintf("T %8.2f hrs : E %6.1f D / t %6.1f D \n",t/(3600), E*57.296,theta*57.296);
fprintf("T %8.2f days : E %6.1f D / t %6.1f D \n",t/(24*3600), E*57.296,theta*57.296);
% Properties from true anomaly
r = (h*h/mu)/(1+e*cos(theta));
r_vec = [ra * (cos(theta) - e), rp * sin(theta)];
ur_vec = r_vec/norm(r_vec);
vr = (mu/h)*e*sin(theta); % Radial component of velocity
vt = (mu/h)*(1+e*cos(theta)); % Transverse component of velocity
v = norm([vr vt]);
vr_vec = vr * ur_vec;
vt_vec = vt * [-ur_vec(2) ur_vec(1)];
v_vec = vr_vec + vt_vec;
% Show me
figure(1);
angles = [0:10:360];
% Position of Planet
plot(ra * cos(theta), rp * sin(theta),'xr');hold on; grid on;
% Line from origin to planet
plot([ra*e, ra * cos(theta)], [0 rp * sin(theta)],':r');
% Velocity vector of Planet
plot(ra * cos(theta)+[0, v_vec(1)] *scale_bar,...
rp * sin(theta)+[0, v_vec(2)] *scale_bar,'b');
plot(ra * cos(theta)+[0, vr_vec(1)]*scale_bar,...
rp * sin(theta)+[0, vr_vec(2)]*scale_bar,'m'); % Vr
plot(ra * cos(theta)+[0, vt_vec(1)]*scale_bar,...
rp * sin(theta)+[0, vt_vec(2)]*scale_bar,'m'); % Vt
% Focus of eclipse
plot([ ra*e],[0],'or'); % 1st Focus
plot([-ra*e],[0],'ok'); % 2nd Focus
% Phase of Smaller planet
plot(ra * cos(theta)+[0, cos(pi+Ae_sat)]*scale_bar*30.0,...
rp * sin(theta)+[0, sin(pi+Ae_sat)]*scale_bar*30.0,'g');
% Phase of Bigger planet
plot(ra*e+[0, cos(pi+Ae_body)]*scale_bar*30.0,...
0 +[0, sin(pi+Ae_body)]*scale_bar*30.0,'g'); % 0, 0
plot(ra,0,'kx');
plot(0,rp,'kx');
plot(ra * cosd(angles), rp * sind(angles),'--r'); % Main Path
plot(ra * cosd(angles), ra * sind(angles),':k'); % Mean Circle
str = sprintf("Rp %6.4f E6 km", rp/1E6); text(ra*0.6, rp*1.3, str);
str = sprintf("Ra %6.4f E6 km", ra/1E6); text(ra*0.6, rp*1.2, str);
% str = sprintf("T %6.3f hrs", T/(60*60)); text(ra*0.6, rp*1.1, str);
str = sprintf("T %6.3f days", T/(24*60*60)); text(ra*0.6, rp*1.1, str);
% title_string = sprintf("%s : Time %8.2f hrs : E %7.2f D / t %7.2f D",relation, t/(60*60), E*57.296, theta*57.296);
title_string = sprintf("Time %8.2f days : E %7.2f D / t %7.2f D",t/(24*60*60), E*57.296, theta*57.296);
title(title_string);
% legend({"Position","Course","Heading"},"Location","Best");
hold off;
% break;
drawnow;
end
fprintf("End\n");
|
cs |
끝.
[1] https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html
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