Orbital Mechanics, Ch.4 Orbits in Three Dimensions

지금까지의 궤도 역학에 대해 다룬 내용은 2차원에 한정되어 있었다. 이 장에서는 3차원 공간 상에서 궤도를 기술하는 수단을 찾아보고, 실제 임무와 궤도 기동을 위한 설정을 알아볼 것이다.

 

 

4.2 Geocentric Right Ascension-Declination Frame 지구 중심 적위-적경 좌표계

3차원 공간 상의 지구 궤도들을 기술하기 위한 좌표계는 지구의 적도 평면(Equatorial plane), 황도 평면(Ecliptic plane), 지구의 회전 축의 관점에서 기술한다. 황도 ecliptic 은 태양 근처의 지구 궤도이며, 남극과 북극을 지나는 지구 회전 축은 황도 ecliptic 과 직교하지 않는다. 이는 황도의 기울기 the obliquity of the ecliptic $\epsilon$으로 알려진 각도만큼 기울어져 있다. 지구의 $\epsilon$은 대략 23.4도 이다.그러므로 지구의 적도 평면과 황도는 어떤 한 선에서 교차한다. 이 선은 춘분선 vernal equinox line 이라 알려져있다. 달력에 춘분은 북반구에서 봄의 첫번째 날이며, 오후 해가 남쪽~북쪽과 적도를 가로지를 때이다. 그 순간 태양의 위치를 하늘의 어떤 점의 위치로 정의하여 vernal equinox 춘분점이라 정의하며, $\gamma$라고 쓴다. 춘분인 날엔, 낮/밤의 시간이 동일하다. 

 

지구중심 적도 좌표계에서 상태 벡터는 성분 형태로 표기할 수 있다.

$$r = X\hat{I} + Y \hat{J} + Z \hat{K}$$

$$v = v_x \hat{I} + v_y \hat{J} + v_z \hat{K}$$

$$r \equiv ||r|| \hat{u}_r$$

단위 위치 벡터 $\hat{u}_r$는 적경 R.A. right ascension $\alpha$ 와 적위 Dec. declination $\delta$에 대해서 다음과 같이 표현된다. (4.5)

$$\hat{u}_r = \text{cos}\delta \text{cos} \alpha \hat{I} + \text{cos} \delta \text{sin} \alpha \hat{J} + \text{sin} \delta $\hat{K}$$

그러므로 상태 벡터가 주어진다면, 적경과 적위를 계산할 수 있다. 

 

4.4 Orbital Elements and the State Vector

평면 상의 궤도를 정의하려면, 2가지의 매개변수가 필요하다. 이심률 eccentricity 와 각운동량 angular momentum이다. 다른 매개변수는 앞선 두 가지로부터 얻을 수 있다. 궤도 상의 위치를 알려면 3번째 매개변수인 전근점 이각 true anomaly 이 필요하다. 이로터 perigee에서부터의 시간을 유도할 수 있다. 3차원 공간 상 궤도의 방향을 기술하는데에는 3개의 추가적인 매개변수가 필요하며 오일려 각이라 부른다.

첫째로, 적도 평면 equatorial plane (XY)와 궤도 평면 orbital plane 의 교차를 표시한다. 이를 node line이라 부른다. 적도 평면 상에서 궤도가 지나가는 node line 상의 점을 acensding node라 부른다. node line 벡터 $N$을 원점에서 ascending node를 지나며 뻗어나가는 방향으로 확장된다. 적도 평면 아래로 궤도가 내려가는 node line의 다른 끝은, descending node 라 부른다. 양의 X 축과 node line 간의 각도는 첫 오일러 각 the first euler angle $\Omega$ 이며, ascending node의 적경(Right Ascension)이다. 적경 R.A.는 0~360도의 양수이다.

 궤도 평면과 적도 평면 간의 이면각 dihedral angle은 궤도 경사 inclination $i$이며, 오른손 법칙에 따라서 계측한다. 오른손 법칙에 따라서 node line 주변으로 적도에서 궤도 쪽으로의 반시계 방향이다. 궤도 경사 inclination은 양의 Z 축과 궤도에 수직한 축 간의 각도이다. 참고로 각운동량 벡터 $h$는 궤도 평면에 수직한다. 그러므로 궤도 경사 $i$는 양의 Z축과 $h$간의 각도이며, 0~180도이다.

 궤도의 prigee는 궤도 경로와 이심률 벡터 $e$의 교차점에 존재한다. 세번째 오일러 각 $omega$인 argument of perigee는 node line 벡터 $N$과 이심률 벡터 $e$ 간의 각도이다. argument of perigee 는 양수이며 0~360도 이다.

Geo-centric equatorial frame and the orbital elements

요약하면, 궤도를 표현하는 6가지 성분은

$h$	specific angular momentum
$i$	inclination
$\Omega$	right ascension of the ascending node
$e$	eccentricity
$\omega$	argument of perigee
$\theta$	true anomaly

각운동량 $h$와 전근점 이각 $\theta$는 장축 반경 $a$와 평균 이각 $M$으로 대신할 수 있다.

 

상태 벡터로부터 궤도의 6개 성분을 계산하는 방법은 다음과 같다.

1. 거리

$$||r|| = \sqrt{r\cdot r}$$

2. 속력

$$||v|| = \sqrt{v\cdot v}$$

3. 시선 속도 radial velocity

$$v_r = r \cdot r /||r||$$

4. 비 각속도 운동량 specific angular momentum $h$

$$h=r \times v$$

5. 비 각속도 운동량의 크기

$$||h|| =\sqrt{h \cdot h}$$

6. 궤도 경사 inclination $i$

$$i = \text{cos}^{-1} \left( h_Z / h \right)$$

궤도 경사 $i$는 0~180도이므로 사분면의 모호성(quadrant ambiguity)이 존재하지 않는다. 만약 90~180도 이라면 역행(retrograde) 운동을 하는 궤도이다.

7. Node line $N$

$$N=\hat{K} \times h$$

8. $N$의 크기

$$||N||=\sqrt{N\cdot N}$$

9. R.A. $\Omega$

$$\Omega = \text{cos}^{-1}\left(N_x / N \right)$$

10 이심률 벡터 $e$

$$e=\frac{1}{\mu} \left[ \left( ||v||^2 - \frac{\mu}{||r||} \right) r - ||r||v_r v \right] $$

11. 이심률 $||e||$

$$e=\frac{1}{\mu} \sqrt{ \left(2\mu - ||r|| ||v||^2 \right) ||r|| v_r^2 + \left( \mu - ||r|| ||v||^2 \right)^2 } $$

12. Argument of perigee $\omega$

$$\omega = \text{cos}^{-1} \left( N \cdot e / ||N||||e|| \right)$$

13. 전근점 이각 $\theta$

$$\theta = \text{cos}^{-1}\left( e \cdot r / ||e||||r|| \right)$$