Orbital Mechanics, Ch.5 Preliminary Orbit Determination

본 절은 지구에 한하여 관측한 것을 바탕으로 위성의 궤도를 결정하는, 전부 다는 아니지만, 고전적인 방법에 대해 다룬다. 모든 기법들은 이체 운동방정식을 기반으로 한다. 이러한 방법들은 실제 궤도가 시간이 지남에 따라서 다른 현상(섭동), 예를 들면 달과 태양의 중력, 대기 항력, 태양풍, 지구의 비-구체 형상과 비균질 질량 분포 등에 영향을 받기 때문에, 기초 궤도 결정 기법들이 반드시 고려되어야 한다. 

 

5.2 Gibb's Method of Orbit Determination from Three Position Vectors

연속적인 3개의 시간에서 Geo-centric한 위치 벡터 3개를 얻어서 궤도를 결정하는 방법이다.

 

5.3 Lambert's Problem

질량 $M$ 주변의 질량 $m$의 경로 상의 두 점 $P_1$과 $P_2$의 위치 벡터 $r_1$, $r_2$을 안다고 하자. 이로부터 전근점 이각true anomaly 의 변화 $\Delta \theta$를 계산할 수 있다.

$$\text{cos}^{-1} \Delta \theta = \frac{r_1 \cdot r_2}{||r_1|| ||r_2||}$$

또한 위치 벡터 간의 외적을 통해서 각도의 사분면 위치를 결정할 수 있다.

 

Lambert의 이론에 따르면, 두 점을 이동한 시간 $\Delta t$는 궤도의 이심률과는 무관하며, 오직 두 점의 위치 벡터 합의 크기 $|| r_1 + r_2 ||$, 장축 반경 $a$, 그리고 $P_1$, $P_2$ 현의 길이 $c$와 연관되어 있다. 또한 주목할만한 것은, 타원 주기와 specific mechanical energy는 이심률과 무관하다.

 

5.4 Sidereal Time

관측으로부터 태양계의 천체나 위성의 궤도를 추론하기 위해서, 각 관측의 시간 기록이 필요하다. 우리가 매일같이 사용하는 시간이자, 우리 시계에 설정하는 시간은 태양 시 solar time이다. 태양일 solar day는 정오부터 정오부터 다음 정오 간의 시간이며, 24시이다. 세계시 Universal Time (UT)는 지구 위도 terrestrial longitude로 각 0도인 그리니치 자오선 Greenwich meridian 을 태양이 지나가는 것으로 결정된다. 세계시의 정오 때, 태양은 그리니치 자오선 Greenwich meridian 에 놓인다.

항성시 Sidereal time는 천구 상의 고정된 별들에 상대적인 지구의 회전으로 계측된다. 원거리의 별이 머리 위의 같은 위치에 돌아오기까지, 같은 자오선 meridian에 놓이기 까지의 시간을 항성시 Sidereal time 이라 한다. 태양 근처의 지구 궤도는 항성일 sidereal day의 결과인데, 태양일 solar day보다는 약간 항성시가 짧다. 1 항성일은 23시간 56분이다. 달리 표현하면, 1 항성일에 지구는 360도를 회전하는 반면에, 1 태양일에는 360.986도를 회전한다.

 어떤 장소의 지역 항성시 Local sidereal time $\theta$는 어떤 장소의 지역 자오선이 춘분점 vernal equinox을 지난 시간으로부터의 경과 시간이다. 춘분선과 지역 자오선 간의 동쪽 방향으로 계측되는 각도는 항성시가 15만큼 곱해진 값이다. (항성시 24시간이 지구 한 바퀴인 360도 이니, 1항성시는 15도이다.) 지구중심 적도 좌표계에 상대적으로 어떤 주어진 순간에 지구 상의 어떤 점의 위치를 알기 위해서는 지역 항성시를 알고 있어야 한다. 어떤 장소의 지역 항성시는 첫번째로는 그리니치 항성시 $\theta_G$와, 그 장소의 동경을 더해서 결정한다.

 

사족을 달면 영국의 그리니치 천문대는 위도 N31도, 경도 0도로, 동경 0도이다. 우리나라의 위치를 대충 위도 N37도, 경도 E127.5도로 하면 동경 127.5도에 위치하며 $\theta=127.5^{\circ}$이다. 대충 8.5 항성시가 빠르다는 말이다. 그러나 국내 표준시 KST는 동경 135도를 기준으로 하여 9시간 빠르므로 UTC+9이다.. 국제 표준시로 그리니치 천문대가 00시 일때, 우리나라는 국제 표준시로 9시라는 말이다. 항성시를 결정하는 알고리즘은 율리우스일 Julian day(JD)의 개념에 기반한다.

 율리우스 일 숫자는 BC 4713년 1월 1일의 UT 정오부터의 지난 시간이다. 이 시간 스케일의 기원은 선사 시대의 사건들을 제외하면 고전이기 때문에, 양/음의 숫자를 처리할 필요가 없다. 율리우스 일을 세는 방법은 균일하고 연속적이기 때문에 윤년이나 다른 달의 다른 일 수들을 포함하지 않는다. 두 사건 사이의 일 수는 간단하게 다른 율리우스 일으로부터 어떤 율리우스력 일을 빼면 구할 수 있다. 율리우스 일은 자정보다는 정오에 시작하기 때문에, 밤에 하늘을 관찰하는 천문학자들은 그들의 시간 동안 일자의 변화를 다룰 필요가 없을 것이다.

 율리우스 일을 세는 시스템은 로마 황제인 율리우스 시저가 BC 46년에 소개한 율리우스력과 헷갈리진 않는다. AC 1583년에 소개된 그레고리력은 광범위하게 율리우시력을 대체해왔으며, 전세게의 많은 곳에서 오늘날 민간에서 널리 쓰이고 있다.

$J_0$는 UT의 율리우스 시 0시를 의미하는 상징이다. 다른 UT에서는 율리우스 일은 다음과 같다.

$$\text{JD} = J_0 + \frac{\text{UT}}{24}$$

 

$$J_0 = 367y - \text{INT} \left[\frac{7}{4}\left[ y+ \text{INT} \left( \frac{m+9}{12}\right) \right] \right] + \text{INT} \left( \frac{275m}{9} \right) + d + 1,721,013.5$$

 

현재의 율리우스 시대(Julian epoch)는 2000년 1월 1일 정오이어왔다. 이 시대는 J2000 이라 쓰며, 정확한 율리우스 일은 2,451,545.0 이다. 율리우스 년은 365.25일을 가지므로, 율리우스 세기는 36,525일을 가진다. 율리우스 일 $J_0$과 J2000 사이의 율리우스 세기의 시간 $T_0$

$$T_0 = \frac{J_0 - 2,451,545}{36,525}$$

UT 0시의 그리니치 항성시 $\theta_{G_0}$는 무차원의 시간 관점에서 찾을 수도 있다.

도 단위의 $\theta_{G_0}$는 다음의 수열으로 주어진다.

$$\theta_{G_0} = 100,4606184 + 36,00.77004 T_0 + 0.000387933 T_0^2 - 2.583 (10^{-8}) T_0^3$$

이 공식은 360도를 넘어가는 값을 산출 할 수 있다. 그렇다면, 적당한 360의 정수배를 더하거나 빼줌으로써 $\theta_{G_0}$를 해당 범위로 가져올 수 있다.

한번 $\theta_{G_0}$가 결정되면, 어떤 UT에서의 그리니치 항성시 $theta_G$는 다음의 관계를 이용하여 얻을 수 있다.

$$\theta_G = \theta_{G_0} + 360.98564724 \frac{\text{UT}}{24}$$

이때 UT는 시간 단위이다.우항의 2번째 항의 계수는 24시간(태양시) 동안 도는 지구의 회전 각도이다.

마지막으로 한 장소의 지역 항성시 $\theta$는 그리니치 항성시에 동경 $\Lambda$를 더해서 얻을 수 있다.

$$\theta=\theta_G + \Lambda$$

 

1) 율리우스 일 $\text{JD}$ 구하기

$\text{UT}$는..

$$\text{UT} = \text{HH} + \text{MM}/60 + \text{SS}/3600$$

율리우스 일 $\text{JD}$는

$$\text{JD} = J_0 + \frac{\text{UT}}{24}$$

 

2) 한 장소의 지역 항성시 $\theta$ 구하기

UT 0시의 율리우스 일을 세면 $J_0$

$$J_0 = 367y - \text{INT} \left[\frac{7}{4}\left[ y+ \text{INT} \left( \frac{m+9}{12}\right) \right] \right] + \text{INT} \left( \frac{275m}{9} \right) + d + 1,721,013.5$$

현재 율리우스 시대, J2000에 대한 현재 일 수 $T_0$는

$$T_0 = \frac{J_0 - 2,451,545}{36,525}$$

UT 0시의 그리니치 항성시 $\theta_{G_0}$는

$$\theta_{G_0} = 100.4606184 + 36,00.77004 T_0 + 0.000387933 T_0^2 - 2.583 (10^{-8}) T_0^3$$

그리니치 항성시 $\theta_G$는

$$\theta_G = \theta_{G_0} + 360.98564724 \frac{\text{UT}}{24}$$

한 장소의 지역 항성시 $\theta$는 동경시 $\Lambda$를 이용하여

$$\theta=\theta_G + \Lambda$$

 

 

 

 

*******