대권 항로의 유도 - Great Circle Navigation

대권 항로(Great Circle Route)란? [1][2]

 대원, 대권(Great Circle)은 지구를 중심이 지나도록 잘랐을 때 생기는 가상의 큰 원이며 소원(Small circle)은 구의 중심을 지나지 않는 평면과 교차해서 생기는 원이다. 이러한 특성으로부터 구체로 가정한 지구 상의 두 지점 사이의 호가 대권거리이며, 이를 이용한 항로가 대권 항로이다.

대권 항법을 유도하기 위해 구면 삼각형의 공식으로부터 이를 유도해나갈 것이다.

구면 삼각형 그림 [3]

구면 삼각형(Spherical Triangle) 공식 

구면 상의 삼각형 ABC의 꼭지점 A의 끼인 각을 A, 꼭지점 A가 마주보고 있는 변의 길이를 a라고 하자. 변의 길이 a는 구의 반지름이 1이라 할 때, 각 $\angle \text{BOC}$은 a와 같다. 같은 방법으로 B, b, C, c를 정의한다.

구면 삼각형의 사인 법칙은 다음과 같다.

$$\frac{\text{sin}a}{\text{sin}A} = \frac{\text{sin}b}{\text{sin}B} = \frac{\text{sin}c}{\text{sin}C}$$

코사인 법칙은 다음과 같다.

$$\text{cos }a=\text{cos }b\text{ cos }c+\text{sin }b\text{ sin }c\text{ cos }A$$

$$\text{cos }b=\text{cos }c\text{ cos }a+\text{sin }c\text{ sin }a\text{ cos }B$$

$$\text{cos }c=\text{cos }a\text{ cos }b+\text{sin }a\text{ sin }b\text{ cos }C$$

 

대권 항법의 유도

1. 두 점 $p_1 , p_2$ 간의 끼인 각 $\sigma$ 을 코사인 법칙으로부터 구한다.

$$\text{cos }a=\text{cos }b\text{ cos }c+\text{sin }b\text{ sin }c\text{ cos }A$$

$$\text{cos }\sigma=\text{cos}\left(\pi/2-\mu_2 \right)\text{cos}\left(\pi/2 -\mu_1\right)+\text{sin}\left( \pi/2 -\mu_2\right)\text{sin}\left(\pi/2 -\mu_1\right)\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right)$$

$$\therefore) \text{cos }\sigma=\text{sin }\mu_2\text{ sin }\mu_1+\text{cos }\mu_2\text{ cos }\mu_1\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right)$$

 

2. 지구 반지름을 $r$이라 할 때, 대권 항로의 거리 $R$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$R = r \sigma$$

 

3. bearing angle, 시작점 $p_1$의 끼인 각 $\psi$는 다음과 같이 구할 수 있다.

- 코사인 법칙으로부터

$$\text{cos }b=\text{cos }c\text{ cos }a+\text{sin }c\text{ sin }a\text{ cos }B$$

$$\text{cos }B = \frac{\text{cos }b - \text{cos }c \text{cos }a}{\text{sin }c \text{sin }a}$$

$$\therefore) \text{cos }\psi = \frac{\text{cos}\left(\pi/2 -\mu_2\right) - \text{cos}\left(\pi/2-\mu_1 \right) \text{cos }\sigma}{\text{sin}\left(\pi/2 -\mu_1\right) \text{sin }\sigma}$$

- 사인 법칙으로부터 

$$\frac{\text{sin}a}{\text{sin}A} = \frac{\text{sin}b}{\text{sin}B}$$

$$\text{sin }B = \text{sin }A \frac{\text{sin }b}{\text{sin }a}$$

$$\therefore) \text{sin } \psi = \text{sin} \left(l_2 - l_1 \right) \frac{\text{cos } \mu_2}{\text{sin }\sigma}$$

- 정리하면

$$\text{tan }\psi = \frac{\text{sin }\psi}{\text{cos }\psi} = \frac{\text{cos }\mu_1 \text{sin } \sigma }{\text{sin }\mu_2 -\text{sin }\mu_1 \text{cos }\sigma} \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) \frac{\text{cos }\mu_2}{\text{sin }\sigma}$$

$$\text{tan }\psi = \frac{\text{cos }\mu_1 \text{cos }\mu_2 \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) }{\text{sin }\mu_2 -\text{sin }\mu_1 \text{cos } \sigma}$$

$$\text{tan }\psi = \frac{\text{cos }\mu_1 \text{cos }\mu_2 \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) }{\text{sin }\mu_2 -\text{sin }\mu_1 \left(\text{sin }\mu_2\text{ sin }\mu_1+\text{cos }\mu_2\text{ cos }\mu_1\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right)\right)}$$

$$\text{tan }\psi = \frac{\text{cos }\mu_1 \text{cos }\mu_2 \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) }{\text{sin }\mu_2 -\text{sin }^2\mu_1 \text{sin }\mu_2-\text{sin }\mu_1\text{cos }\mu_2\text{ cos }\mu_1\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right) }$$

$$\text{tan }\psi = \frac{ \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) }{\text{sin }\mu_2 \frac{1 -\text{sin }^2\mu_1}{\text{cos }\mu_1 \text{cos }\mu_2} -\text{sin }\mu_1\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right) }$$

$$\therefore) \text{tan }\psi = \frac{ \text{sin}\left(l_2 -l_1 \right) }{\text{cos }\mu_1 \text{tan }\mu_2 -\text{sin }\mu_1\text{cos}\left(l_2 -l_1 \right) }$$

위의 역탄젠트 연산을 수행하면 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

1. "복잡한 교통시스템, 어떻게 연결되어 있을까? - 비행기의 이동 경로," 서울시립과학관, science.seoul.go.kr/board/display/read?menuId=10&bbsId=6&searchSeq=328&rsvnCd=space

2. "[과학백과사전] - 대원 [Great circle 大圓]," 사이언스올, www.scienceall.com/%EB%8C%80%EC%9B%90-great-circle-%E5%A4%A7%E5%9C%93/

3. "Spherical trigonometry", wikipedia, en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry