[FRAME2] 좌표계의 회전 관계

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글 묶음

1. 좌표계의 종류

2. 좌표계의 회전 관계 <-

3. 좌표계의 회전과 병진 변환

 

배경지식

 좌표계의 종류는 주로 진 관성 (True Inertial), 지구-중심 관성 (ECI), 지구-중심 지구-고정 (ECEF), 항법 (Nav), 동체 (Body) 좌표계를 사용하며, 항공기에 대해 동체축 (Body-axes), 안정축 (Stability-axes), 바람축 (Wind-axes) 좌표계를 정의하여 사용한다.

 울퉁불퉁 돌맹이 지구를 회전 타원체로 모델링한 WGS-84이 있으며, 다양한 분야에 사용되고 특히 GPS가 WGS-84에 기반하고 있다.

 

 

좌표계 간의 회전 변환 도구

1. 방향코사인행렬 (DCM, Direction Cosin Matrix)
 방향코사인행렬은 변환 행렬로써, 한 좌표계의 각 축과 다른 좌표계의 각 축 간의 방향 코사인의 계산에 기반을 둔다. 벡터는 임의의 좌표계에 대해 좌표축의 단위 벡터와의 내적을 통해 좌표 축으로 성분을 분해할 수 있다. 
DCM $C_a^b$는 다음의 규칙을 가진다.
$$r^b = C_a^b r^a$$
우변 항의 $r^a$와 DCM $C_a^b$의 a를 소거하여 b만 남는다고 이해하면 편하다. 대각선으로 지우는 것이다. 
방향코사인행렬의 운동학적 방정식(Kinematical Equation)은 다음과 같다. 아래 식은 Poisson's kinematical equations, 또는 관성 항법에서는 Strapdown equation이라고 한다. 
$$\frac{d C_b^a}{dt} =- \Omega_{ab}^b C_b^a =\begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} C_b^a $$ 
우변의 행렬은 회전 벡터 $\omega_{ab}^b$의 skew-symmetric form $\Omega_{ab}^b$이다. 
$$\omega_{ab}^b=\begin{bmatrix}\omega_x & \omega_y & \omega_z \end{bmatrix} = -\omega_{ba}^a$$

$$\Omega_{ab}^b = \begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}$$
스트랩다운 방정식은 오일러각이 가지는 $\theta=\pm 90$일때의 특이점에서 자유롭다는 이점이 있으나 많은 연산의 중복이 단점이다.

 

2. 오일러 각 (Euler's Angles, Roll, Pitch, Yaw)
 두 좌표계 간의 각도를 표현하는 주요한 방법 중 하나는 3개의 오일러 각 $(\phi, \theta, \psi)$을 사용하는 것이다. 그러나 중요한 점은 오일러각은 유일성을 보장하지 않는다. 예를 들면 $\theta=\pm 90$도일 경우, Gimbal Lock이라는 특이점 문제가 발생한다.

 오일러각은 아래와 같이 방향코사인행렬로 표현될 수 있다. (Euler -> DCM)
$$C_n^b = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ \left(-c\phi s\psi + s\phi s \theta c\psi \right) & \left(c\phi c \psi +s\phi s\theta s\psi \right) & s \phi c\theta \\ \left(s\phi s\psi +c\phi s \theta c\psi \right) & \left(-s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) & c\phi c\theta\end{bmatrix} = \left(C_b^n \right)^T$$

 방향코사인행렬로부터 오일러각을 표현할 수 있다. (DCM -> Euler)

회전 속도의 변환
$$\omega^B = \begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + C_{\phi}\left(\begin{bmatrix}0 \\ \dot{\theta} \\ 0\end{bmatrix}+C_{\theta} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \right)$$ $$\omega^B =\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\text{sin}\theta \\ 0 & \text{cos}\phi & \text{cos} \theta \text{sin} \phi \\ 0 & -\text{sin} \phi & \text{cos}\theta \text{cos} \phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi}\end{bmatrix}$$

 

오일러 운동학적 방정식 (Euler kinematical equation)

위의 역변환은 오일러 운동학적 방정식으로 다음과 같다.
$$\begin{bmatrix}\dot{\phi}\\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & \text{tan}\theta \text{sin}\phi  & \text{tan} \theta \text{cos} \phi \\ 0 & \text{cos} \phi & -\text{sin} \phi \\ 0 & \text{sin}\phi / \text{cos}\theta & \text{cos}\phi /\text{cos}\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}p \\ q \\ r \end{bmatrix}$$

 

3. 쿼터니언, 사원수 (Quaternion)[4]
 오일러각의 Gimbal Lock과 같은 모호함을 풀기 위해서,  1776년 Euler가 처음 4개의 매개변수계를 개발하였으며 1843년 Hamilton이 수정하여 이 계를 쿼터니언 시스템(Quaternion System)이라고 이름 붙였다.
 쿼터니언은 4개의 실수로 구성되어있으며, 1개의 실수 파트와 1개의 3차원 벡터 파트로 구성되어있다고도 볼 수 있다.Hamilton은 벡터 표기를 아래와 같이 적용하였다.
$$q=q_0 + q_1 \textbf{i} + q_2 \textbf{j} + q_3 \textbf{k} = [q_0 , q_1 , q_2 , q_3 ] =[q_0 , \textbf {q} ]$$
 쿼터니언의 직교성(Orthogonality)으로부터
$$q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 +q_3^2 =1$$

좌표 회전의 관점에서 단위 쿼터니언은 벡터 파트 $\textbf{q}$의 방향으로 회전 각도를 $\theta$만큼 오른손 법칙에 따라 회전함을 나타낸다.

$$q = \left[ \text{cos}\left(\theta/2\right) , \textbf{q} \text{sin}\left(\theta/2\right) \right]$$

 

 오일러각으로 표현하면 다음과 같다. (Quaternion -> Euler)
재미있는 것은 우변 항의 앞 부분에서 아랫방향 대각선으로 sin 함수, 이외엔 cos 함수이다. 또한 우변 항의 뒷 부분에서 아랫방향 대각선으로 cos 함수를, 이외엔 sin 함수인 것을 볼 수 있다.
$$\cases{q_0 = \text{cos}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2)  + \text{sin}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2)  \\ q_1 = \text{sin}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) - \text{cos}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2)  \\ q_2 =  \text{cos}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) +  \text{sin}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2) \\ q_3 = \text{cos}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2) - \text{sin}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) }$$

 방향코사인행렬로 표현하면 다음과 같다. (Quaternion -> DCM)
Inhomogeneous expression
$$C_n^b = \begin{bmatrix}q_0^2 + q_1^2 -q_2^2 -a_3^2 & 2(q_1 q_2 - q_0 q_3) & 2(q_1 q_3 + q_0 q_2 ) \\ 2(q_1 q_2 + q_0 q_3 ) & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & 2(q_2 q_3 -q_0 q_1) \\ 2(q_1 q_3 - q_0 q_2 ) & 2(q_2 q_3 + q_0 q_1 ) & q_0^2 -q_1^2 -q_2^2 + q_3^2 \end{bmatrix}$$
Homogeneous expression
$$C_n^b = \begin{bmatrix}1-2(q_2^2+q_3^2) & 2(q_1 q_2 - q_0 q_3) & 2(q_1 q_3 + q_0 q_2 ) \\ 2(q_1 q_2 + q_0 q_3 ) & 1-2(q_1^2 +q_3^2 ) & 2(q_2 q_3 -q_0 q_1) \\ 2(q_1 q_3 - q_0 q_2 ) & 2(q_2 q_3 + q_0 q_1 ) & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix}$$

쿼터니언 운동학적 방정식
$$\dot{q} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & -\left(\omega^B \right)^T \\ \omega^B & -\Omega^B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0 \\ \textbf{q} \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}\dot{q_0} \\ \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ \dot{q_3} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -p & -q & -r \\ p & 0 & r & -q \\ q & -r & 0 & p \\ r & q & -p & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{bmatrix}$$

 

4. 로드리게스 회전공식 (Rodrigues' Rotation Formula)
 벡터 $\textbf{v}\in {R}^3$ 를 단위 벡터 $\textbf{k}$에 대해 오른손 법칙으로 각도 $\theta$만큼 회전시키면 회전된 벡터 $\bf{v}_{rot}$는 다음과 같다.
$$\textbf{v}_{rot} = \textbf{v} \text{cos}\theta  + (\textbf{k} \times \textbf{v})\text{sin} \theta + \textbf{k}(\textbf{k}\cdot\textbf{v} ) (1-\text{cos}\theta )$$

 

작성중 ..

 

 

 

정리

 좌표계 간의 회전을 표현하는 방법으로 방향코사인행렬(DCM), 오일러 각, 사원수(쿼터니언)이 있다. 이러한 수단을 이용하여 좌표계의 변환을 수행 할 수 있다.

 방향코사인행렬, 오일러 각, 쿼터니언의 운동학적 방정식을 이용하여 연속적으로(Continuouse), 또는 이산적으로(Discrete) 시스템의 자세를 연산할 수 있다.

 

 

 

Reference

1. Siouris, G. M., Aerospace Avionics Systems : A Modern Synthesis, Academic Press Inc., 1993, pp.8-44.

2. Lewis, F. L., and Stevens, B. L., Aircraft Control and Simulation, 2nd ed., Wiley, 2003, pp.25-40.

3. Stovall, S. H., Basic Inertial Navigation, Naval Air Warfare Center Weapons Division, Sep.1997.

4. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer, 2003.