[FRAME3] 좌표계의 회전과 병진 변환

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글 묶음

1. 좌표계의 종류

2. 좌표계의 회전 관계

3. 좌표계의 회전과 병진 변환 <-

 

배경지식

 좌표계의 종류는 주로 진 관성 (True Inertial), 지구-중심 관성 (ECI), 지구-중심 지구-고정 (ECEF), 항법 (Nav), 동체 (Body) 좌표계를 사용하며, 항공기에 대해 동체축 (Body-axes), 안정축 (Stability-axes), 바람축 (Wind-axes) 좌표계를 정의하여 사용한다.

 울퉁불퉁 돌맹이 지구를 회전 타원체로 모델링한 WGS-84이 있으며, 다양한 분야에 사용되고 특히 GPS가 WGS-84에 기반하고 있다.

 앞서 좌표계 간의 회전 관계를 나타내는 도구인 방향코사인행렬(DCM), 오일러각, 사원수(쿼터니언)이 있으며 도구들과 이에 대한 운동학적 방정식으로부터 시스템의 자세와 자세의 경향을 연산해나갈 수 있다.

 

 

좌표계의 회전과 병진 변환

 

ECI to ECEF
$$r^e = C_{Z(|\Omega_{ie}| \Delta t)} r^i$$

$$|\Omega_{ie}| = \frac{2\pi} {23h \hspace{2mm} 56m \hspace{2mm} 4.09s} = 7.2921159 \times 10^{-5} \text{rad/s}$$

$$\Omega_{ie} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 7.292115 \times 10^{-5} \text{rad/s} \end{bmatrix}$$
ECEF to Nav
Latitude $L$, Longitude $l$
$$r^{n} = C_e^n p^e = C_{Z(L)} C_{Y(l)} r^e$$

$$\begin{bmatrix}X^n \\Y^n \\ Z^n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\text{cos}l & 0 & \text{sin}l \\ 0 & 1 & 0 \\ -\text{sin}l & 0 & \text{cos}l \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}L & \text{sin}L & 0 \\ -\text{sin}L & \text{cos}L & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} X^e \\ Y^e \\ Z^e \end{bmatrix}$$

Geodetic 2 ECEF (Position)
Meridian Radius $R_M = \frac{R(1-e^2)}{\left(1-e^2 sin^2 L \right)^{3/2}}$
Equatorial Radius $R_N = \frac{R}{\left(1-e^2 sin ^2 L \right)^{1/2}}$
$$p^e = \begin{bmatrix} X^e \\ Y^e \\ Z^e \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \left(R_N +h \right) cos(L) cos(l) \\ \left(R_N + h \right) cos(L) sin(l) \\ \left(R_N (1-e^2) + h \right) sin (L)\end{bmatrix}$$

Geodetic $\leftrightarrow$ Nav (Position)
기준 위, 경, 고도 $(L_0 , l_0, h_0)$에 대해 평면 지구 좌표계의 NED 방향 위치는 다음과 같다.
$$\begin{bmatrix} X^n \\ Y^n \\ Z^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{L - L_0}{atan(1/R_M)} \\ \frac{l - l_0 } {atan(1/(R_N cos(L))} \\ -(h-h_0) \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}L\\l\\h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_0 + X^n atan(1/R_N)  \\ l_0 + Y^n atan(1/R_M cos(L))\\ h_0 -Z^n  \end{bmatrix}$$

Geodetic $\leftrightarrow$ Nav (Velocity)
$$\begin{bmatrix} \dot{L} \\ \dot{l} \\ \dot{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{V^N}{R_N + h} \\ \frac{V^E} {(R_M +h ) cos(L)} \\ - V_D \end{bmatrix}$$

Body $\leftrightarrow$ Navigation
$$C_n^b = C_\phi C_\theta C_\psi$$
$$r^{b} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos}\phi & \text{sin}\phi \\0 & -\text{sin}\phi & \text{cos}\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}\theta & 0 & -\text{sin}\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \text{sin}\theta & 0 & \text{cos}\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}\psi & \text{sin}\psi & 0 \\ -\text{sin}\psi & \text{cos}\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} r^n$$

$$C_n^b = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ \left(-c\phi s\psi + s\phi s \theta c\psi \right) & \left(c\phi c \psi +s\phi s\theta s\psi \right) & s \phi c\theta \\ \left(s\phi s\psi +c\phi s \theta c\psi \right) & \left(-s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) & c\phi c\theta\end{bmatrix} = \left(C_b^n \right)^T$$

 

 

작성중...

 

정리

 좌표계 간의 회전을 표현하는 방법으로 방향코사인행렬(DCM), 오일러 각, 사원수(쿼터니언)이 있다. 이러한 수단을 이용하여 좌표계의 변환을 수행 할 수 있다.

 방향코사인행렬, 오일러 각, 쿼터니언의 운동학적 방정식을 이용하여 연속적으로(Continuouse), 또는 이산적으로(Discrete) 시스템의 자세를 연산할 수 있다.

 

 

 

Reference

1. Siouris, G. M., Aerospace Avionics Systems : A Modern Synthesis, Academic Press Inc., 1993, pp.8-44.

2. Lewis, F. L., and Stevens, B. L., Aircraft Control and Simulation, 2nd ed., Wiley, 2003, pp.25-40.

3. Stovall, S. H., Basic Inertial Navigation, Naval Air Warfare Center Weapons Division, Sep.1997.

4. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer, 2003.