가속도 유도제어 수식 정리

본 글은 다음의 논문을 참고하여 작성하였습니다.

1) Park, S. H., "Autonomous Aerobatic Flight for Fixed Wing Aircraft," Journal of the Korean Society for Aeronautical and Space Sciences, Vol. 37, No. 12, 2009, pp. 1217~1224.

2) Park, S. H., and Lee, S. H., "Autonomous Aerobatics Flight Test," Proceeding of the 2011 KSAS Spring Conference, 2011, pp.409~414.

3) Jang, S. A., "Study of Intelligent Pilot Model Based on Basic Fighter Maneuvering for Air Combat Simulation," PhD Dissertation, In-ha University, 2012.

 

 

수식 표기 Notation

표적의 위치 $R_T^N$, 속도 $V_T^N$, 기체의 위치 $R_M^N$, 속도 $V_M^N$, 기체의 자세 $\phi, \theta, \psi$이다.

기체 기준 상대 변위와 상대 속도

$$R_{TM} = R_T - R_M, \hspace{5mm} V_{TM} = V_T - V_M$$

위의 단위 벡터

$$e_{R_{TM}} = \frac{R_{TM}}{|R_{TM}|}, \hspace{5mm} e_{V_{TM}} = \frac{V_{TM}}{|V_{TM}|}$$

기준 단위 벡터 $e_{ref}$에 대한 시선각 벡터

$$\lambda = \left(e_{ref} \times e_{R_{TM}}\right) \text{acos}\left(e_{ref} \cdot e_{R_{TM}}\right)$$

시선각 변화율 LOS rate $\dot{\lambda}$

$$\dot{\lambda} = \frac{(R_{TM} \times V_{TM})}{||R_{TM}||^2}$$

비가속도 $A$ 계산

$$\vec{A} = \vec{a} - \vec{g}$$

 

[FRAME3] 좌표계의 회전과 병진 변환 로부터

Body $\leftrightarrow$ Navigation 
$$C_N^B = C_\phi C_\theta C_\psi$$

$$C_N^B = \begin{bmatrix}C_{11} &C_{12} &C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ \left(-c\phi s\psi + s\phi s \theta c\psi \right) & \left(c\phi c \psi +s\phi s\theta s\psi \right) & s \phi c\theta \\ \left(s\phi s\psi +c\phi s \theta c\psi \right) & \left(-s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) & c\phi c\theta\end{bmatrix}$$

만약 $|\text{sin} \theta| < 1$이라면

$$\cases{\phi = \text{atan2}\left(C_{23},C_{33}\right) \\ \theta = -\text{asin}\left(C_{13}\right) \\ \psi = \text{atan2}\left(C_{12},C_{11}\right)}$$

$|\text{sin} \theta| = 1$ 이라면

$$\cases{\phi = 0 \\ \theta = \text{asin}\left(C_{13} \right) \\ \psi = \text{atan2}\left(-C_{21},C_{22}\right)}$$

가속도를 이용한 계산을 위해 새로운 좌표축을 정의한다. 이는 z-y 변환만 수행한다.

$$C_N^T = C_\theta C_\psi$$

유도 법칙 식 정리

추적유도법칙 Pursuit Guidance

$$a_{cmd}^N = k_{PG} \left( \mu^N \times V_m^N \right)$$

비례항법유도 Proportional Navigation Guidance

PPNG : $a_{cmd}^N = N \left( \dot{\lambda}^N \times V_M^N\right)$

TPNG : $a_{cmd}^N = N' \left( \dot{\lambda}^N \times V_C^N\right)$

    closing velocity, $V_c^N = - e_{R_{TM}}^N \left(e_{R_{TM}}^N \cdot V_M^N \right)$

    Nav. Const. $N' = N |V_M|/|V_C|$

 

가속도 제어를 위한 중간 연산

 기체는 주로 양력으로부터 큰 힘을 얻는다. 그렇다면 양력 벡터를 유도 명령 벡터에 정렬하여 제어법칙으로 하여금 가속도를 발생시키도록 할 수 있다. 비가속도 유도 명령의 좌표계 변환으로부터 롤 각 명령과 가속도(G) 명령을 계산한다. x축 변환($C_\phi$)를 하게 되면 롤 자세 명령 계산에 문제가 있기 때문에 틸팅-피치 까지만 한다.

$$A_{cmd}^N = a_{cmd}^N - g^N$$

$$A_{cmd}^T = C_N^T A_{cmd}^N = C_\theta C_\psi A_{cmd}^N$$

$$\cases{\phi_{cmd} = atan2 \left( A_{Ycmd}^T,A_{Zcmd}^T\right) \\ G_{cmd} = \sqrt{\left( A_{Ycmd}^T\right)^2 + \left( A_{Zcmd}^T \right)^2 } }$$

 

 

3D 기동을 위한 횡 축 제어 법칙 설계

 일반적인 항공기의 경우 롤 자세를 360도 모두 사용할 일이 없지만, 전투기는 복잡한 기동을 수행하기 위해 다양한 자세를 가지게 된다. 이러한 기동을 유도제어법칙이 수행한다고 할 때, 기존에 사용하던 제어기의 경우 롤 각 명령이 180도를 넘어가는 순간, 이산적인 특성으로 인해 롤 자세가 반대로 돌게 될 것이다. 기존의 PID 피드백 제어기 구조는 다음과 같다.

일반적인 유도제어법칙 구조

유도 법칙(롤 각 명령) -> 롤 각 제어기 -> 동역학

$$?? \rightarrow \phi_{cmd} - G_\phi \rightarrow \delta_a$$

 

$$e_\phi = \phi_{cmd} - \phi, \hspace{5mm} -180{}^{\circ} < \phi_{cmd}, \phi  \leq 180{}^{\circ}$$

롤 각 제어기에서 롤 각 오차 $e_{\phi}$에서 180도를 넘어갈 경우, 롤 각 오차가 크게 튈 것을 예상할 수 있다.

이러한 문제점을 해결하기 위해서 롤 각 명령 $\phi_{cmd}$과 롤 각$\phi$ 사이의 끼인 각을 $\tilde{\phi}$라 할 때, R끼인 각 $\tilde{\phi}$를 줄이기 위해 다음과 같은 제어법칙을 구성할 수 있다.

유도제어법칙 구조

유도 법칙(롤 각 명령) -> $\tilde{\phi}$ 연산-> 롤 각속도 제어기

$$?? - \rightarrow A_{cmd}^N - \phi_{cmd} - \tilde{\phi} - G_p \rightarrow \delta_a$$

 

$\tilde{\phi}$의 계산

다음의 의사 코드 Pseudo Code에 따라 계산한다. $e_\phi = \phi_{cmd} - \phi$ if $e_\phi > \pi$     $\tilde{\phi} =e_\phi - 2\pi$ elseif $e_\phi < -\pi$     $\tilde{\phi} = e_\phi + 2\pi$ else     $\tilde{\phi} = e_\phi$ end

 

가속도 제한을 고려한 선회 한계 계산

균형 선회 조건 상에서의 비행 조건 유도로부터,

기동평면이 지면과 평행할 때, 균형 선회 가정을 기반으로 선회 한계를 계산 할 수 있다.

$$\Omega = \frac{g}{V} \sqrt{n^2 -1 }$$

선회 반경 한계

$$R_{min} = \frac{V^2}{g\sqrt{n_{max}^2 -1}} \approx \frac{V^2}{gn}$$

예를 들어 30kft에서 9G 하중으로 비행한다고 할 때,

M0.3, $R_{min} \approx 114 \text{m}$, $V\approx 100\text{m/s}$
M0.6, $R_{min} \approx 456 \text{m}$, $V\approx 200\text{m/s}$
M0.9, $R_{min} \approx 1026 \text{m}$, $V\approx 300\text{m/s}$

 

 

선회 속도 한계

$$\Omega_{max} = \frac{g}{V} \sqrt{n^2 - 1}$$

 

속도 추적유도기법을 사용할 경우, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$a_{cmd}^N = k_{PG} \left( \mu^N \times V_m^N \right)$$

$$A_{cmd}^N = k_{PG} \left( \mu^N \times V_m^N \right) - g^N$$

$$n_{max}g = k_{PG} (\mu V_M ) - g$$

각도별로 $\mu$가 달라지므로 조건에 맞추어 계산될 수 있다.

추적유도기법과 비례항법유도를 같이 사용하여 유도명령을 계산할 경우, 추적유도의 각도에 한계가 존재하게 된다.