[논문리뷰] 비기동 표적에 대한 Lyapunov Stability를 이용한 추적유도법칙 설계

본 글은 다음의 논문을 공부하면서 정리한 것임을 밝힙니다.

Kim, M., and Kim, Y., "Lyapunov-Based Pursuit Guidance Law with Impact Angle Constraint," Proceedings of the 19th World Congress The IFAC, Cape Town, South Africa, Aug. 2014.

 

논문 요약

2D 상에서 Lyapunov 안정성 이론 기반으로 순수 추적 유도와 순수 충돌각 제어유도 법칙을 설계하였다.

 

---

질점으로 모사한 미사일의 동역학 방정식은 다음과 같다.

$$\dot{R} = -V_M cos (\lambda -\psi_M ) $$

$$\dot{\lambda} = \frac{V_M}{R} sin(\lambda-\psi_M)$$

$$\dot{\psi_M} = \frac{a_M}{V_M} = a_c $$

 

Lyapunov-Stability 기반 순수 추적유도

종말 유도 단계에서 미사일은 표적을 향하고 있어야 할 것이다.

이때, $\lambda-\psi_M \rightarrow 0$을 목적으로 한다.

아래와 같이 Lyapunov 후보함수를 선정하였다.

$$V_1 = 2 sin^2 \left( \frac{\lambda - \psi_M}{4}\right)$$

위의 후보함수의 목적은 각도 오차를 줄이는데에 있다. $\lambda - \psi_M =0$이라 하면 미사일이 표적을 향하고 있는 상태이며 이 때 후보함수가 0임을 알 수 있다.

안정성 증명을 위해 후보함수의 시간 미분을 구한다.

$$\dot{V}_1 = sin\left(\frac{\lambda-\psi_M}{4} \right) cos \left( \frac{\lambda-\psi_M}{4} \right)\left(\dot{\lambda}-\dot{\psi_M}\right)$$

$$\dot{V}_1 = \frac{1}{2} sin\left(\frac{\lambda-\psi_M}{2} \right) \left(\dot{\lambda}-a_c\right)$$

후보함수의 시간미분이 음의 정준부호(negative semi-definite), $\left(\dot{V}_1 \leq0 \right)$를 가지기 위해서 논문은 다음의 정규화된 가속도 명령을 제안한다.

$$a_c = \dot{\lambda}+k_1 sin\left(\frac{\lambda-\psi_M}{4}\right)$$

$k_1$은 양의 유도 이득이므로, 후보함수의 시간 미분은 다음과 같이 정리된다.

$$\dot{V}_1 = - \frac{k_1}{2} sin^2 \left(\frac{\lambda-\psi_M}{2}\right) \leq 0 $$

Lyapunov 후보 함수의 시간 미분이 음의 준정부호이므로, 위 논문에서 제안한 가속도 명령이 평형점 $\lambda -\psi_M = 0$에서 시스템을 점근적 안정하게 함을 보여준다.