[FRAME] 좌표계의 종류와 관계 (통본)

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위치, 속도, 고도 등의 항법 연산에 사용하는데에 다양한 기준 좌표계를 사용한다.

예를 들면 간단한 산수를 할 때는 직교하는 xyz 좌표계를 정의해놓고는 $x$ 방향으로 몇 m, $y$ 방향으로 몇 m 등으로 물체의 위치를 나타내기도 하며, GPS와 같은 관성 항법 시스템은 위도 $L$, 경도 $l$, 고도 $h$를 출력한다.

위와 같은 좌표계로 일반적으로 많이 쓰이는 좌표계의 종류는 아래의 5가지이다.

1. 진 관성 좌표계, True Inertial Frame
2. 지구-중심 관성 좌표계, ECI (Earth-Centered Inertial) Frame
3. 지구-중심 지구-고정 좌표계, ECEF (Earth-Centerd Earth-Fixed) Frame
4. 항법 좌표계, Navigation Frame
5. 동체축 좌표계, Body Frame

 추가적으로 고정익 항공기의 경우 안정축 좌표계(Stability Frame)과 바람 좌표계(Wind Frame)을 정의하여 사용한다. 위 좌표계의 설명은 아래에서 이어진다.

 또한 좌표계의 축 방향을 결정하는 방법으로 오른손 법칙, 왼손 법칙을 따르는 좌표계를 정의할 수 있다. 이들 좌표계는 오른손 좌표계, 왼손 좌표계라고도 부른다. 오른손 좌표계를 설명하면, 직교하는 두 벡터를 오른손 법칙에 따라 외적하면 공간을 표현할 수 있는 기저 벡터를 모두 구할 수 있다. 이에 따라 X축과 Y축을 결정하면 X축과 Y축을 순서대로 외적하여 Z축을 결정할 수 있다.

$$\vec{Z} = \vec{X}\times\vec{Y}$$

 본 글은 오른손 법칙을 기준으로 서술한다.

좌표계의 종류

설명을 더하면 다음과 같다. 좌표계 축은 위청자로 표현된다.

- 진 관성 좌표계, True Inertial Frame ($I : X^I , Y^I , Z^I$)

뉴턴의 법칙이 유효한 직교 기준 좌표계로, 좌표계가 공간 상에서 등속으로 이동하나 회전하지 않는다. 진 관성 좌표계는 실제로 사용되는 좌표계가 아닌, 다른 기준 좌표계에 대해 시각화하기 위해 사용된다.

- 지구-중심 관성 좌표계, ECI (Earth-Centered Inertial) Frame ($i : X^i , Y^i , Z^i$)

지구의 질량 중심을 원점으로, 관성 공간에 대해 회전하지 않는 직교 기준 좌표계이다.

- 지구-중심 지구-고정 좌표계, ECEF (Earth-Centered Earth-Fixed) Frame ($e : X^e , Y^e , Z^e$)

 Geocentric frame이라고도 부르는 이 지구 좌표계는 관성 좌표계처럼 지구 질량 중심을 원점으로, 지구와 함께 회전화는 좌표계이다.

- 항법 좌표계, Navigation Frame ($n : N , E , D$)

 Geographic frame이라고도 부르는 항법 좌표계는 관성 항법 시스템의 위치를 원점으로 하며, $x^n y^n$ 평면이 기준 타원체(WGS84 같은)에 접하며 $z^n$은 타원체에 직교한다. $x^n$는 북쪽 방향(North), $y^n$는 동쪽 방향(East), $z^n$는 아래 방향(Down)을 가리키게 된다.

- 동체 좌표계, Body Frame ($b : X^b , Y^b , Z^b$)

이 좌표계는 대상체(항공기, 선박)의 질량 중심을 원점으로 하는 좌표계이다. 일반적으로 물체의 운동방정식을 동체축 좌표계 상에서 표현하기 때문에, 운동 방정식을 전개해나가는데 편리한 좌표계이다.

 항공기의 경우의 좌표계 약속은 기준 기수 방향 (Roll 축) 을 $x^b$, 오른 날개 방향 (Pitch 축)을 $y^b$, 배면 방향 (yaw 축)을 $z^b$로 한다.

좌표계의 종류와 관계

항공기 좌표계의 정의

동체 좌표계, Body-axes system ($b$)

위와 같다.

안정축 좌표계, Stability-axes system ($s$)

 항공기의 정상 상태에서의 섭동 (Perturbation)을 분석하기 위한 좌표계로, 동체축 좌표계에서 $Y^b$ 방향으로 받음각(AOA, Angle of Attack) $\alpha$만큼 회전한 좌표계이다.

바람축 좌표계, Wind-axes system ($w$)

 안정축 좌표계에서 $Z^s$축 방향으로 회전시켜 $X^s$를 상대풍 방향으로 정렬한 좌표계이다. 회전 각도는 옆미끄럼각 (Sideslip Angle, AOS, Angle of Sideslip) $\beta$이다.

$$\alpha = atan(\frac{w}{u}) , \hspace{10mm} \beta = acos(\frac{v}{V})$$

6 자유도 운동방정식에서 좌표축의 정의

축	힘과 모멘트	병진, 회전 속도	위치, 각도
X 방향 병진 (Surge)	$X$	$u$	$X^n$
Y 방향 병진 (Sway)	$Y$	$v$	$Y^n$
Z 방향 병진 (Heave)	$Z$	$w$	$Z^n$
X 방향 회전 (Roll)	$K$	$p$	$\phi$
Y 방향 회전 (Pitch)	$M$	$q$	$\theta$
Z 방향 회전 (Yaw)	$N$	$r$	$\psi$

X 방향 회전 모멘트를 표현하는 표기는 대부분 $L$ 또는 $K$를 사용한다.

$L$는 양력의 표기와 겹치므로, $K$를 추천한다.

 

세계 지구 좌표계(World Geodetic System)

지구는 둥글다라고 하지만 실제는 울퉁불퉁한 모양을 가지고 있다.

지구를 수학적으로 모델링하는 방법은 여러가지가 있다. 

지오이드 (Geoid)

 지구 내부의 질량 분포에 따른 위치 별로 중력의 차이가 존재한다. 지구 중력장 하의 퍼텐셜 에너지 (Potential Energy)가 동일한 면, 등포텐셜(Equipotential) 면으로 정의한 회전 타원체를 지오이드라고 한다. 

 지오이드의 등포텐셜 면은 중력 방향에 직교하며 내부 질량 분포가 불균일하므로 불규칙적인 면을 띈다.

WGS-84 좌표계

 WGS-84 회전 타원체(Spheriod)는 지구 질량 중심을 원점으로 하고, 지오이드를 최소 제곱법으로 피팅한 모델이다. 지오이드와 표준 편차의 제곱 평균 제곱근(RMS)은 약 30m 가량의 차이밖에 안난다.

미국에서 사용하고 있는 지구 모델은 DoD의 WGS-84를 사용한다. 또한 GPS도 WGS-84를 기반으로 한다.

WGS84 회전 타원체의 매개 변수는 다음과 같다.

이름	식
장반경 (Semimajor)	$a=6378137m$
단반경 (Semiminor)	$b=6356752m$
이심률 (Eccentricity)	$e=\frac{ \left(a^2 - b^2 \right) ^ {1/2} }{a} \approx 0.8181919$
평탄도 (Flattening)	$f=\frac{a-b}{a} \equiv 1/298.257223563$
지구 중력 상수	$GM \equiv 3986004.418 \times 10^8 \text{m^3 /s^2}$
지구 회전 속도	$\Omega^{ie} \equiv 7.2921150 \times 10^{-5} \text{rad/s}$

 

정리

항공기, 선박 등의 항법과 관성항법 시스템에 기본이 되는 좌표계의 종류에 대해서 알아보았다.

3차원 직교 좌표계의 X, Y, Z 축의 정의는 오른손/왼손 좌표계 선택에 따라 다르지만 본 글은 오른손 법칙에 따른 오른손 좌표계를 사용한다.

종류는 진 관성(True-Inertial) 지구-중심 관성 (ECI), 지구-중심 지구-고정 (ECEF), 항법(Nav.), 동체(Body) 좌표계가 있으며

항공기에 대해서 동체(Body), 안정축 (Stability-axes), 바람축 (Wind-axes) 좌표계가 있다.

돌맹이 지구를 회전 타원체로 모델링하여 다양한 분야에서 사용하고 있는 WGS-84 가 있다.

 

 

글 묶음

 

1. 좌표계의 종류

2. 좌표계의 회전 변환 도구

3. 좌표계 간의 변환

회전 변환

방향코사인행렬 (DCM, Direction Cosin Matrix)

 방향코사인행렬은 변환 행렬로써, 한 좌표계의 각 축과 다른 좌표계의 각 축 간의 방향 코사인의 계산에 기반을 둔다. 벡터는 임의의 좌표계에 대해 좌표축의 단위 벡터와의 내적을 통해 좌표 축으로 성분을 분해할 수 있다. 

DCM $C_a^b$는 다음의 규칙을 가진다.

$$r^b = C_a^b r^a$$

우변 항의 $r^a$와 DCM $C_a^b$의 a를 소거하여 b만 남는다고 이해하면 편하다. 대각선으로 지우는 것이다.
방향코사인행렬의 운동학적 방정식(Kinematical Equation)은 다음과 같다. 아래 식은 Poisson's kinematical equations, 또는 관성 항법에서는 Strapdown equation이라고 한다.
$$\frac{d C_b^a}{dt} =- \Omega_{ab}^b C_b^a =\begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} C_b^a $$
우변의 행렬은 회전 벡터 $\omega_{ab}^b$의 skew-symmetric form $\Omega_{ab}^b$이다.
$$\omega_{ab}^b=\begin{bmatrix}\omega_x & \omega_y & \omega_z \end{bmatrix} = -\omega_{ba}^a$$

스트랩다운 방정식은 오일러각이 가지는 $\theta=\pm 90$일때의 특이점에서 자유롭다는 이점이 있으나 많은 연산의 중복이 단점이다.

 

오일러 각 (Euler's Angles)

 두 좌표계 간의 각도를 표현하는 주요한 방법 중 하나는 3개의 오일러 각 $(\phi, \theta, \psi)$을 사용하는 것이다. 그러나 중요한 점은 오일러각은 유일성을 보장하지 않는다. 예를 들면 $\theta=\pm 90$도일 경우, Gimbal Lock이라는 특이점 문제가 발생한다.

Euler Angle $\rightarrow$ DCM

$$C_n^b = \begin{bmatrix}C_{11} &C_{12} &C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ \left(-c\phi s\psi + s\phi s \theta c\psi \right) & \left(c\phi c \psi +s\phi s\theta s\psi \right) & s \phi c\theta \\ \left(s\phi s\psi +c\phi s \theta c\psi \right) & \left(-s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) & c\phi c\theta\end{bmatrix} = \left(C_b^n \right)^T$$

DCM $\rightarrow$ Euler Angle

아래 식은 $\theta = 0$일 때 롤 각 $\phi$과 요 각 $\psi$를 결정할 수 없다는 특이점이 있다.

$$C_n^b = \begin{bmatrix}C_{11} &C_{12} &C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}$$

$$\cases{\phi = atan2\left(C_{23},C_{33}\right) \\ \theta = -asin\left(C_{13}\right) \\ \psi = atan2\left(C_{12},C_{11}\right)}$$

 

회전 속도의 변환

$$\omega^B = \begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + C_{\phi}\left(\begin{bmatrix}0 \\ \dot{\theta} \\ 0\end{bmatrix}+C_{\theta} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} \right)$$

$$\omega^B =\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\text{sin}\theta \\ 0 & \text{cos}\phi & \text{cos} \theta \text{sin} \phi \\ 0 & -\text{sin} \phi & \text{cos}\theta \text{cos} \phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi}\end{bmatrix}$$

그의 역변환은 오일러 운동학적 방정식 (Euler kinematical equation)으로 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix}\dot{\phi}\\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 1 & \text{tan}\theta \text{sin}\phi  & \text{tan} \theta \text{cos} \phi \\ 0 & \text{cos} \phi & -\text{sin} \phi \\ 0 & \text{sin}\phi / \text{cos}\theta & \text{cos}\phi /\text{cos}\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}p \\ q \\ r \end{bmatrix}$$

 

 

쿼터니언, 사원수 (Quaternion)[4]

 오일러각의 Gimbal Lock과 같은 모호함을 풀기 위해서,  1776년 Euler가 처음 4개의 매개변수계를 개발하였으며 1843년 Hamilton이 수정하여 이 계를 쿼터니언 시스템(Quaternion System)이라고 이름 붙였다.

 쿼터니언은 4중의 실수이며, 3차원 벡터로 표기할 수 있다. Hamilton은 벡터 표기를 아래와 같이 적용하였다.

$$q=q_0 + q_1 \textbf{i} + q_2 \textbf{j} + q_3 \textbf{k} = (q_0 , q_1 , q_2 , q_3 ) =(q_0 , \textbf {q} )$$

 쿼터니언의 직교성(Orthogonality)으로부터

$$q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 +q_3^2 =1$$

 오일러각으로 표현하면 다음과 같다.

재미있는 것은 우변 항의 앞 부분에서 아랫방향 대각선으로 sin 함수, 이외엔 cos 함수이다. 또한 우변 항의 뒷 부분에서 아랫방향 대각선으로 cos 함수를, 이외엔 sin 함수인 것을 볼 수 있다.

Euler angles $\rightarrow$ Quaternion

$$\cases{q_0 = \text{cos}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2)  + \text{sin}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2)  \\ q_1 = \text{sin}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) - \text{cos}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2)  \\ q_2 =  \text{cos}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) +  \text{sin}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2) \\ q_3 = \text{cos}(\phi/2) \text{cos}(\theta/2) \text{sin}(\psi/2) - \text{sin}(\phi/2) \text{sin}(\theta/2) \text{cos}(\psi/2) }$$

Quaternion $\rightarrow$ Euler angles

$\phi = atan2\left(2(q_0 q_1 + q_2 q_3 ) , 1-2(q_1^2 + q_2^2) \right)$

$\theta = asin\left(2(q_0 q_2 - q_3 q_1) \right)$

$\psi = atan2\left(2(q_0 q_3 + q_1 q_2),1-2(q_2^2 +q_3^2 ) \right)$

Quaternion $\rightarrow$ DCM

Inhomogeneous expression

$$C_n^b = \begin{bmatrix}q_0^2 + q_1^2 -q_2^2 -a_3^2 & 2(q_1 q_2 - q_0 q_3) & 2(q_1 q_3 + q_0 q_2 ) \\ 2(q_1 q_2 + q_0 q_3 ) & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & 2(q_2 q_3 -q_0 q_1) \\ 2(q_1 q_3 - q_0 q_2 ) & 2(q_2 q_3 + q_0 q_1 ) & q_0^2 -q_1^2 -q_2^2 + q_3^2 \end{bmatrix}$$

Homogeneous expression

$$C_n^b = \begin{bmatrix}1-2(q_2^2+q_3^2) & 2(q_1 q_2 - q_0 q_3) & 2(q_1 q_3 + q_0 q_2 ) \\ 2(q_1 q_2 + q_0 q_3 ) & 1-2(q_1^2 +q_3^2 ) & 2(q_2 q_3 -q_0 q_1) \\ 2(q_1 q_3 - q_0 q_2 ) & 2(q_2 q_3 + q_0 q_1 ) & 1-2(q_1^2 + q_2^2) \end{bmatrix}$$

DCM $\rightarrow$ Quaternion

$$q_0 = 0.5 \sqrt{1+C_{11} + C_{22} + C_{33}}$$

$$q_1 = \left(C_{23} - C_{32}\right)/4q_0$$

$$q_2 = \left(C_{31} - C_{13}\right)/4q_0$$

$$q_3 = \left(C_{12} - C_{21}\right)/4q_0$$

 

쿼터니언 운동학적 방정식

$$\dot{q} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & -\left(\omega^B \right)^T \\ \omega^B & -\Omega^B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0 \\ \textbf{q} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}\dot{q_0} \\ \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ \dot{q_3} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -p & -q & -r \\ p & 0 & r & -q \\ q & -r & 0 & p \\ r & q & -p & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{bmatrix}$$

 

로드리게스 회전공식 (Rodrigues' Rotation Formula)

 벡터 $\textbf{v}\in {R}^3$ 를 단위 벡터 $\textbf{k}$에 대해 오른손 법칙으로 각도 $\theta$만큼 회전시키면 회전된 벡터 $\bf{v}_{rot}$는 다음과 같다.

$$\textbf{v}_{rot} = \textbf{v} \text{cos}\theta  + (\textbf{k} \times \textbf{v})\text{sin} \theta + \textbf{k}(\textbf{k}\cdot\textbf{v} ) (1-\text{cos}\theta )$$

 

좌표계 간의 변환

ECI to ECEF

$$r^e = C_{Z(|\Omega_{ie}| \Delta t)} r^i$$

$$|\Omega_{ie}| = \frac{2\pi} {23h \hspace{2mm} 56m \hspace{2mm} 4.09s} = 7.2921159 \times 10^{-5} \text{rad/s}$$

$$\Omega_{ie} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 7.292115 \times 10^{-5} \text{rad/s} \end{bmatrix}$$

ECEF to Nav

Latitude $L$, Longitude $l$

$$r^{n} = C_e^n p^e = C_{Z(L)} C_{Y(l)} r^e$$

$$\begin{bmatrix}X^n \\Y^n \\ Z^n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\text{cos}l & 0 & \text{sin}l \\ 0 & 1 & 0 \\ -\text{sin}l & 0 & \text{cos}l \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}L & \text{sin}L & 0 \\ -\text{sin}L & \text{cos}L & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} X^e \\ Y^e \\ Z^e \end{bmatrix} $$

 

Geodetic 2 ECEF (Position)

Meridian Radius $R_M = \frac{R(1-e^2)}{\left(1-e^2 sin^2 L \right)^{3/2}}$

Equatorial Radius $R_N = \frac{R}{\left(1-e^2 sin ^2 L \right)^{1/2}}$

$$p^e = \begin{bmatrix} X^e \\ Y^e \\ Z^e \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \left(R_N +h \right) cos(L) cos(l) \\ \left(R_N + h \right) cos(L) sin(l) \\ \left(R_N (1-e^2) + h \right) sin (L)\end{bmatrix}$$

Geodetic $\leftrightarrow$ Nav (Position)

기준 위, 경, 고도 $(L_0 , l_0, h_0)$에 대해 평면 지구 좌표계의 NED 방향 위치는 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix} X^n \\ Y^n \\ Z^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{L - L_0}{atan(1/R_M)} \\ \frac{l - l_0 } {atan(1/(R_N cos(L))} \\ -(h-h_0) \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix}L\\l\\h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_0 + X^n atan(1/R_N)  \\ l_0 + Y^n atan(1/R_M cos(L))\\ h_0 -Z^n  \end{bmatrix}$$

Geodetic $\leftrightarrow$ Nav (Velocity)

$$\begin{bmatrix} \dot{L} \\ \dot{l} \\ \dot{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{V^N}{R_N + h} \\ \frac{V^E} {(R_M +h ) cos(L)} \\ - V_D \end{bmatrix}$$

Body $\leftrightarrow$ Navigation

$$C_n^b = C_\phi C_\theta C_\psi$$

$$r^{b} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \text{cos}\phi & \text{sin}\phi \\0 & -\text{sin}\phi & \text{cos}\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}\theta & 0 & -\text{sin}\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \text{sin}\theta & 0 & \text{cos}\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \text{cos}\psi & \text{sin}\psi & 0 \\ -\text{sin}\psi & \text{cos}\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} r^n $$

$$C_n^b = \begin{bmatrix} c\theta c\psi & c\theta s\psi & -s\theta \\ \left(-c\phi s\psi + s\phi s \theta c\psi \right) & \left(c\phi c \psi +s\phi s\theta s\psi \right) & s \phi c\theta \\ \left(s\phi s\psi +c\phi s \theta c\psi \right) & \left(-s\phi c\psi + c\phi s\theta s\psi \right) & c\phi c\theta\end{bmatrix} = \left(C_b^n \right)^T$$

 

Reference

1. Siouris, G. M., Aerospace Avionics Systems : A Modern Synthesis, Academic Press Inc., 1993, pp.8-44.

2. Lewis, F. L., and Stevens, B. L., Aircraft Control and Simulation, 2nd ed., Wiley, 2003, pp.25-40.

3. Stovall, S. H., Basic Inertial Navigation, Naval Air Warfare Center Weapons Division, Sep.1997.

4. Siouris, G. M., Missile Guidance and Control Systems, Springer, 2003.