항성일과 회합일의 정리

용어를 명확히 구분하여 정리된 곳을 찾지 못하여, 따로 찾아서 정리한다.

 

행성의 주기 정리

Sidereal Period 항성 주기 (Sidereal orbital period)

다른 항성을 기준으로 태양을 한바퀴 도는 시간

일반적으로 공전 주기를 말한다.

 

Synodic Period 회합 주기 (Synodic orbital period)

두 천체의 상대적 위치가 다시 같아지는 주기

간단히 말하면 같은 포메이션, 태양과 두 천체가 일직선 상에 놓이는데 걸리는 시간이라 볼 수 있다.

아래 표의 회합주기는 지구에 대한 태양계 행성의 회합 주기이다.

태양계 어떤 행성의 회합 주기 $T_{Synodic}$의 계산식은 다음과 같다.

$$\frac{1}{T_{Synodic}} = \frac{1}{T_{Small}} - \frac{1}{T_{Big}} \hspace{10mm} T_{Big} > T_{Small}$$

여기서 작고 큰 $T$는 각각 지구의 항성 주기와 어떤 행성의 항성 주기이며, 지구의 항성 주기는 365.256 일=1년 이다.

 

Synodic Day 회합일 (Synodic rotation period)

공전하는 항성에 대해 천체가 한 번 회전하는데 걸리는 주기

지구나 화성을 예로 들면, 지금 보는 태양 위치가 같은 위치에 다시 나타나는 시간이 회합일이다.

Solar day 태양일이라고도 부른다.

지구의 경우, 지구의 자전 주기는 23시 56분 4.1초이고, 회합일은 정확히 24 시이다.

화성의 경우, 화성의 자전 주기는 24시 37분 22.7초이고, 화성의 태양일인 회합일은 24시 39분 36초이다.

대충 보면 외행성의 회합일은 자전주기에 비해 차이가 크지만, 자전주기가 점점 커짐에 따라서 공전주기보다 자전주기가 월등히 빨라지기 때문에 자전주기에 가까워진다.

어떤 행성의 회합일을 계산하면 다음과 같다. 각각 공전, 자전 주기가 필요하다.

$$\frac{1}{T_{SD}} = \frac{1}{T_{RotationPeriod}}-\frac{1}{T_{SiderealPeriod}}$$

 

Rotation Period 자전 주기 (Sidereal rotation period)

한 천체가 배경의 별들을 중심으로 자전축을 기준하여 한 바퀴 회전하는 주기

이를 Sidereal day, 항성일 이라고도 부른다.

 

그래서 같은 표현을 정리하면 다음과 같다.

Sidereal Orbital Period -> Sidereal Period 항성 주기(공전 주기, 항성일)

Synodic Orbital Period -> Synodic Period 회합 주기

Sidereal Rotation Period -> Rotation Period 자전 주기

Synodic Rotation Period -> Synodic Day 회합일

 

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행성들의 세부 사항은 위키피디아[2]의 행성 정보를 긁어왔다. 이를 통해서 궤도 특성을 그림으로 표현했다.

부호가 음수인 것들은 역행, 반대로 돌기 때문이다.

달은 항성 주기와 자전 주기가 같은 동주기 자전(Synchronous rotation), 조석 고정(Tidal locking)이 되어있는 것을 볼 수 있다.

	Semi-major axis  (AU)	항성 주기 Sidereal Period	회합 주기 Synodic Period	자전 주기 Rotation Period	회합일 Synodic Day
수성 Mercury	0.387099	87.9691 days	115.88 days	58.646 days	175.936 days
금성 Venus	0.723332	224.701 days	583.92 days	-243.0226 days	-116.75 days
지구 Earth	1.000000	365.256 days	-	0.9972697 days	1.0000 days
달 Moon		27.3216 days	29.5306 days	27.321661 days	29.530589 days
화성 Mars	1.523662	686.980 days (1.8809 yrs)	779.94 days (2.1354 yrs)	1.02596 days	1.02749 days
목성 Jupiter	5.203363	4332.59 days (11.862 yrs)	398.88 days (1.09206 yrs)	0.41354 days (9.9250 hrs)	0.41358 days (9.9258 hrs)
토성 Saturn	9.537070	10759.22 days (29.4571 yrs)	378.09 days (1.03513 yrs)	0.440023 days (10.56056 hrs)	0.439304 days (10.5433 hrs)
천왕성 Uranus	19.19126	30688.5 days (84.0205 yrs)	369.66 days	-0.71833 days	-0.71832 days
해왕성 Neptune	30.06896	60195 days (164.8 yrs)	367.49 days	0.67125 days	0.67125 days
명왕성 Pluto	39.48169	90560 days (247.94 yrs)	366.73 days	-6.387230 days	-6.38680 days

 

항성 주기가 장반경 축에 대한 경향성을 가지기 때문에,

항성 주기를 장반경축에 다항식 커브피팅을 해서 회합 주기의 근사를 같이 도시하면 다음과 같다.

화성 이후부터는 회합주기가 지구 항성 주기에 근접하는 것을 볼 수 있는데, 이는 다른 행성이 태양을 공전하는 것보다 지구가 태양을 공전해서 다시 동일한 상대적 위치를 이루는게 빠르기 때문이다.

 

그림 그린 MATLAB 스크립트는 다음과 같다.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

data = [0.387099 87.9691 115.88; 0.723332 224.701 583.92; 1.000000 365.256 Inf; 1.523662 686.980 779.94; 5.203363 4332.59 398.88; 9.537070 10759.22 378.09; 19.19126 30688.5 369.66; 30.06896 60195.0 367.49; 39.48169 90560.0 366.73]; a = data(:,1); % Semi-major axis Sidereal= data(:,2); % Sidereal Orbital Period, days Synodic = data(:,3); % Synodic Orbital Period, days coeff = polyfit(a, Sidereal, 3); line1 = [min(a), logspace(-0.4, 1.6,500)]; for i = 1 : length(line1) Earth_Sidereal_Period = 365.256; Planet_Sidereal_Period_Fitting = polyval(coeff, line1(i)); if Earth_Sidereal_Period > Planet_Sidereal_Period_Fitting Bigger = Earth_Sidereal_Period; Smaller = Planet_Sidereal_Period_Fitting; else Bigger = Planet_Sidereal_Period_Fitting; Smaller = Earth_Sidereal_Period; end Syno_fit(i)= (1./(1/Smaller - 1./Bigger)); end figure(1); yyaxis left plot(a, Synodic,'Blueo'); hold on; plot(line1, Syno_fit,'Blue:'); plot(a, zeros(size(a))+365.256 ,'Red:'); text(2, 365.256-20,"Earth Sidereal Period"); ylim([0 1000]); xlabel('Semi-major axis [AU]'); ylabel("Synodic Period [days]"); hold off; yyaxis right plot(a, Sidereal/365.256, "Red"); grid on; hold on; plot(a, polyval(coeff,a)/365.256, "Red:"); ylim([0 250]); ylabel("Sidereal Period [yrs]"); hold off;

 

끝.

 

[1] 회합 주기, https://namu.wiki/w/%ED%9A%8C%ED%95%A9%20%EC%A3%BC%EA%B8%B0

[2] Solar System, https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_System