달랑베르의 원리 (D'Alembert's principle)와 구속 조건

달랑베르의 원리를 한 줄 요약하면 다음과 같다.[1]

관성력을 도입하면 동역학을 정역학과 마찬가지로 힘의 평형이란 관점에서 다룰 수 있다는 원리이다.

단순히 이항한 것이 무슨 의미냐고 볼 수 있는데, 달랑베르의 원리가 말하고자 하는 바는 구속 조건에 의한 힘은 입자의 운동량 변화에는 기여하지 못한다는 점이다.

 

정역학에서 정적 평형을 이루는 i번째 질점에 가해지는 외력 $\textbf{F}_i$의 합은 0이다. 

$$\sum_{i} \textbf{F}_i = 0$$

뉴턴의 제 2법칙인 가속도의 법칙을 떠올려보면 질량 $m_i$인 질점에 외력 $F_i$를 가하면 질량에 반비례하게 가속도 $a_i$가 생긴다는 말이다. 여기서 식을 좌변으로 정리하면 외력 $F_i$과 관성력 $m_i \ddot{\textbf{r}}_i$은 평형을 이룬다고 볼 수 있다.

$$F_i=m_i a_i \rightarrow \sum_i \left( \textbf{F}_i -m_i \ddot{\textbf{r}}_i \right) =0$$

 

이를 알아보면 위 식에 가상변위$\delta \textbf{r}_i $를 내적하여 가상 일 $\delta W$을 구하면 다음과 같다.

$$\delta W = \sum_i \left(\textbf{F}_i -m_i \ddot{\textbf{r}}_i \right)\cdot \delta \textbf{r}_i = \sum_i \left[ \left(\textbf{F}_{i} + \textbf{R}_{i} \right)-m_i \ddot{\textbf{r}}_i \right]\cdot \delta \textbf{r}_i = 0$$

 실제 운동에 기여하는 힘 $\vec{F}_{i}$에 반해 구속 조건에 의해 구속 힘 $\textbf{R}_{i}$은 질점에 힘을 가하고 있지만 일을 하고 있지 않으므로

$$\sum_i^N \textbf{R}_i \cdot \delta \textbf{r}_i = 0$$

이로부터 가상일 $\delta W$는 다음과 같이 정리된다.

$$\delta W = \sum_i^N \left( \textbf{F}_{i} - m_i \ddot{\textbf{r}}_i \right) \cdot \delta \textbf{r}_i = 0$$

위 식은 Lagrangian form of d'Alembert's principle이라고 한다. 이는 구속 조건을 만족하는 모든 가상 변위에 대한 외력과 관성력이 하는 가상 일은 0이라는 것이다. 이러한 중요한 특징은 라그랑주 방정식이나 해밀턴 방정식처럼 달랑베르의 원리를 이용하여 만든 다양한 동적 방정식에 반영된다는 것이다.[3]

 

 

사족 : 자유도와 구속의 종류[1][3][4]

 동적 변수(Dynamics variables)는 기계 계의 배치(Configuration)를 완벽히 기술할 수 있는 변수들의 어떤 집합이다. 일반적으로 동적 변수로 위치나 각도를 선택한다. 예를 들어 질점은 공간 상에서 3개의 독립적인 다른 동적 변수를 가지므로 3 자유도이다. 직교 좌표계라면 x, y, z 방향의 위치/ 원통 좌표계라면 반경 r, 각도 $\theta$, 높이 z 를 가진다. N개의 입자로 구성된 계는 3N의 자유도를 가진다. $\left(x_1, \cdots, x_{3N} \right)$

 일반적인 경우, 계의 입자들이 모두 자유돕게 이동하지 못하지만 적어도 어느정도 동역학적으로 구속되어있다. 이런 조건 하에서는 3N 개의 매개변수보다 작은 특정 값으로 계의 배치를 줄 수 있다. 이 n개의 매개 변수를 일반화 좌표계(Generalized coordinates, $q$)라고 부른다. $\left(n\leq 3N \right)$

 변환 방정식은 다음과 같다.

$$x_k = x_k \left(q_1, q_2, \cdots q_n ,t \right)$$

 홀로노믹 구속(Holonomic constraint)

 n 개의 일반화 좌표들로 명시한 시스템의 배치에 대해, m개의 독립적인 구속 방정식을 가진다고 가정하면

$$\phi_j \left(q_1 ,\cdots , q_n , t \right) \ \phi_j \left(\textbf{q}, t \right) = 0 , \left( j = 1, \cdots , m \right)$$

 이를 홀로노믹 구속(Holonomic constraint)이라 부른다. 구속 방정식 모두가 홀로노믹 구속이라면 홀로노믹 계(Holonomic system)라고 부른다.

비-홀로노믹 구속(Non-holonomic constraint)

 비-홀로노믹 구속은 구속이 일반화 좌표계의 위치와 속도만으로 기술되지 않는 경우로, 일반화 형태는 다음과 같다.

$$f_j \left( \textbf{q}, \dot{\textbf{q}} ,t \right) = 0$$

대게 속도에 선형적인 간단한 형태를 가진다. 그래서 거의 항상 비 홀로노믹 구속은 다음의 형태를 가진다.

$$f_j = \sum_i^n a_{ji}(\textbf{q},t)\dot{\textbf{q}}_i +a_{ji}(\textbf{q},t) = 0$$

홀로노믹 구속이 있는 경우,

$$\dot{\phi_j} (\textbf{q},\dot{\textbf{q}},t) = \sum_i^n \frac{\partial \phi_j}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \phi_j}{\partial t} =0$$

기타 구속 조건

 명시적으로 구속 방정식에 시간이 나타나지 않는 경우, 스클래로노믹 구속(Scleronomic constraint)이라 부른다.

$$\phi_j (\textbf{q}) = 0$$

 Scleronomic nonholonomic constraint 는 다음과 같다.

$$\sum_i^n a_{ji} (\textbf{q}) \dot{\textbf{q}}_i = 0$$

 명시적으로 시간-종속적인 경우, 레오노믹 구속(Rheonomic constraint)라 부른다.

$$\phi_j (\textbf{q},t) = 0$$

 Catastatic constraint는 $\partial \phi_j /\partial t \equiv 0 $ catastatic constraint는 동적 이론에 중요한 위치를 가진다. 모든 scleronomic constraint는 catastatic 하지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 다음의 비-홀로노믹 구속은 catastatic하지만 scleronomic 하지 않다.

$$\sum_i^n a_{ji}(\textbf{q},t) \dot{\textbf{q}}_i = 0$$

 

구속의 분류를 정리하면 다음과 같다.

Holonomic (위치, 시간에 구속) $$\phi_j (\textbf{q},t)=0$$	Nonholonomic (위치, 시간만으로 구속 불가) $$f_j (\textbf{q},\dot{\textbf{q}},t) = 0$$
Scleronomic holonomic (시간독립적) $$\phi_j (\textbf{q}) = 0$$	Scleronomic nonholonomic $$f_j (\textbf{q},\dot{\textbf{q}})=0$$$$\sum_i^n \frac{\partial f_j (\textbf{q})} {\partial q_i } \dot{q}_i = 0$$
Rheonomic holonomic (시간종속적) $$\phi_j (\textbf{q},t)=0$$	Rheonomic nonholonomic (시간종속적) $$f_j (\textbf{q},\dot{\textbf{q}},t)=0$$
	Catastatic nonholonomic, not scleronomic $$f_j (\textbf{q},\dot{\textbf{q}},t)=0$$$$\sum_i^n \frac{\partial f_j (\textbf{q},t) } {\partial q_i } \dot{q}_i = 0$$

 

 

다음을 참고하였습니다.

1) 사이언스올, "달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)", https://www.scienceall.com/%EB%8B%AC%EB%9E%91%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EC%9D%98-%EC%9B%90%EB%A6%ACdalemberts-principle/

2) https://blog.naver.com/cbr399/90094951558

3) Greenwood, D. T., Advanced Dynamics, Cambridge University Press, 2003, pp. 34-38, 73-74.

4) Hand, L. N. and Finch, J. D., Analytical Mechanics, pp.10-13,